Методическое пособие 476
.pdf2.3. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Нахождение n -й частичной суммы Sn и ее предела не удобно для практического использования. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают необходимые и достаточные признаки сходимости. Рассмотрим необходимый признак сходимости.
Теорема . Если числовой ряд |
|
un |
сходится, то его общий |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
член un |
стремится к нулю, т.е. limun |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
Пусть |
числовой |
ряд |
|
un |
сходится и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
lim Sn |
S . Тогда и lim Sn 1 |
|
S (при n |
|
|
и ( n |
1) |
). По- |
||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скольку |
un |
Sn |
Sn |
1 |
|
|
при |
|
n |
1, |
|
|
получаем: |
|||
lim un |
lim Sn |
lim Sn 1 |
|
S |
|
S |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что невыполнение необходимого условия |
||||||||||||||||
сходимости числового ряда означает его расходимость. |
|
|||||||||||||||
Пример 1. Исследовать сходимость ряда |
|
2n |
1 |
. |
|
|||||||||||
n 1 n |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: Ряд |
2n |
1 |
расходится, т.к. |
|
|
|
|
|
||||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim un |
|
lim |
2n |
1 |
2 |
0 , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда. Пример 2. Исследовать сходимость ряда
41
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 2 |
|
1 |
n |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
... 1 |
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
Данный |
|
|
ряд |
|
расходится, |
т.к. |
||
limun |
lim 1 |
|
1 n |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Необходимый признак сходимости числового ряда не является |
||||||||||||||
достаточным: из условия |
limun |
0 не следует что, ряд сходится. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Существует множество расходящихся числовых рядов, для которых
limun 0 . Например, рассмотрим гармонический ряд
n
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
... . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 n |
2 |
3 |
4 |
n |
||||||||
|
|
|
||||||||||
Очевидно, что limun |
|
0 . Однако гармонический ряд расхо- |
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится, что можно будет легко показать в дальнейшем с помощью интегрального признака сходимости Коши.
2.4. Теоремы сравнения
Сходимость и расходимость числовых рядов с положительными членами можно установить с помощью достаточных признаков сходимости, а также теорем сравнения.
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда можно установить с помощью сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором заранее известно, сходится он или расходится. Такое сравнение производится на основе двух теорем сравнения.
42
|
|
|
Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда |
un и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
vn . Если для всех n выполняется неравенство un |
|
|
vn , то из схо- |
|||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
димости ряда |
|
vn следует сходимость ряда |
|
|
un , |
|
из расходимо- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||
сти ряда |
|
un |
следует расходимость ряда |
vn . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
Обозначим |
n -e |
частичные |
|
суммы |
рядов |
|||||||||||
|
u |
n |
и |
|
v |
соответственно через S u |
и S v |
. Суммируя нера- |
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венства u |
n |
v |
n |
получаем, что S u |
S v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Пусть ряд |
v |
|
сходится и |
lim S v |
S |
2 |
. |
Члены ряда |
v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
положительны, |
поэтому |
Snv |
S2 . |
|
Используя |
|
|
|
неравенство |
||||||||||||
Snu |
|
|
Snv |
, |
|
|
получаем |
Snu |
S2 . |
|
|
Последовательность |
|||||||||
S u |
, S u , |
S u , ... монотонно возрастает, поскольку u |
n |
>0, и ограни- |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чена сверху числом S |
2 |
, следовательно, |
имеет предел |
|
lim S n |
S , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. ряд |
|
un |
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
Пусть теперь знакоположительный числовой ряд |
|
un |
рас- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
ходится: lim Snu |
. Тогда, с учетом неравенства Snu |
Snv |
полу- |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чаем |
lim S v |
, т. е. ряд |
v |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теорема 1 имеет место и в том случае, когда неравенство |
|||||||||||
un |
vn |
выполняется не для всех членов рядов |
un |
и |
|
vn , |
а |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n 1 |
|
|
начиная с некоторого номера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 2. Пусть даны два знакоположительных ряда |
un |
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
v |
. Если существует конечный, предел lim |
un |
|
A |
0 |
A |
|
, |
||||
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
vn |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то ряды |
un и |
vn сходятся или расходятся одновременно (без |
||||||||||
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказательства).
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд |
1 |
. |
|
n 1 |
|
||
1 2n |
Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической про-
1
грессии n 1 2n , о котором заранее известно, что он сходится. По-
скольку для любого n выполняется неравенство |
|
1 |
1 |
, то из |
|
|
2n |
|
2n |
||
1 |
|
|
44
сходимости геометрической прогрессии следует и сходимость ряда
1 |
. Следовательно, данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 4. Исследовать сходимость ряда |
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3 n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Здесь un |
|
|
1 |
|
|
|
. В качестве |
эталонного ряда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 n |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сравнения возьмем расходящийся гармонический ряд с общим чле-
ном v |
|
1 |
. |
Имеем |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
. Следовательно, |
исходный ряд |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Исследовать сходимость ряда |
tg |
2 |
. |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: Для использования второй теоремы сравнения рас- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смотрим |
lim |
n |
2 . |
Поскольку данный предел оказался равен |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
отличной от нуля константе, то исходный ряд и ряд сравнения
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
... ведут себя одинаково в отношении |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 n |
2 |
3 |
4 |
n |
|||||||
|
|
|
расходимости или сходимости. В данном случае оба числовых ряда расходятся.
45
2.5. Признак Даламбера
Признак Даламбера не требует для установления сходимости или расходимости числовых рядов с положительными членами привлечения других, известных рядов для сравнения. Для анализа сходимости числового ряда нужно производить некоторые операции над самим рядом.
Теорема 1.(Признак Даламбера). Если для числового ряда с
положительными членами |
|
|
un |
|
существует конечный или беско- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечный придел lim |
un |
1 |
|
|
l , |
то ряд сходится при l |
1 и расходится |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при l |
|
1. В случае l |
|
1 признак не способен различить сходящийся |
||||||||||||||||||||||
или расходящийся числовой ряд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Доказательство. |
По |
определению предела |
lim |
un 1 |
|
l |
для |
||||||||||||||||||
|
un |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любого |
|
0 найдется натуральное число |
N такое, |
что при n |
N |
|||||||||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
un |
1 |
|
l |
|
или |
l |
|
un |
1 |
|
l |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
un |
|
|
un |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим случай l |
1. Можно подобрать |
|
так, что число |
||||||||||||||||||||||
l |
1. Обозначим l |
|
g , |
g 1. Тогда из правой части нера- |
||||||||||||||||||||||
венства |
l |
|
un 1 |
|
|
l |
|
получаем |
|
un |
1 |
g , |
или un 1 |
g |
un |
|||||||||||
|
un |
|
|
|
un |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при n > N . Считая, что un 1 |
|
g |
|
un , |
и придавая номеру n различ- |
|||||||||||||||||||||
ные значения, получим серию неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
uN 1 |
g uN , |
|
uN 2 |
g uN 1 |
g 2 uN , |
uN 3 |
g uN 2 |
g 3 uN , |
.......... .......... .......... ........., |
||
uN k |
g uN k 1 |
g k uN , |
.......... .......... .......... .......... , |
т.е. члены ряда uN |
uN 1 |
uN 2 |
... |
uN k |
... меньше соответ- |
ствующих членов ряда |
|
|
|
|
|
guN |
g 2uN |
g 3uN |
... |
g k uN |
..., |
который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменате-
лем 0 |
g 1. Но тогда на основании признака сравнения сходится |
ряд uN |
uN 1 uN 2 ... uN k ... , являющийся остатком исход- |
ного числового ряда. Следовательно, на основании первой теоремы о свойствах числовых рядов сходится и исходный ряд.
|
|
Рассмотрим случай l |
1. В этом случае lim |
un 1 |
l 1 , по- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
этому, начиная с некоторого номера N , выполняется неравенство |
||||||
|
un 1 |
1 , или un 1 |
un , т.е. члены ряда возрастают с увеличением |
|||
|
un |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
номера n . Поэтому limun |
0 . Поскольку не выполняется необхо- |
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
димое условие сходимости, то числовой ряд обязательно расходится.
Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда как функция целочисленного аргумента содержит выра-
жение вида n! или an , т.е. убывает быстрее степенной функции.
47
|
|
2n |
|
Пример 6. Исследовать на сходимости ряд |
|
|
. |
n 1 |
n! |
||
|
|
|
Решение: Находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
lim |
un 1 |
|
|
lim |
|
n 1 ! |
|
2 lim |
|
|
n! |
2 lim |
1 |
|
0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
un |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 ! |
|
n |
n |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как l |
0 |
|
|
1, то данный ряд по признаку Даламбера схо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||
Пример 7. Исследовать на сходимость ряда |
n 1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|||||||||
l |
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
n |
1 |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как l |
2 |
|
|
1, то данный ряд по признаку Даламбера рас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Радикальный признак Коши |
|
|
|
Если в формуле общего члена числового ряда с положительными членами содержится n -ная степень какого-либо выражения, то удобно пользоваться радикальным признаком Коши.
48
Теорема (Радикальный признак Коши). Если для числового
ряда с положительными членами |
un существует конечный или |
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
бесконечный придел lim n u |
n |
l , |
то ряд сходится при l 1 и рас- |
||
n |
|
|
|||
|
|
|
|
||
ходится при l 1. В случае l |
1 признак не способен различить |
сходящийся или расходящийся числовой ряд.
Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера
|
n |
n2 |
||
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд |
. |
|||
|
|
|||
n 1 |
||||
n 1 |
|
|||
Решение: Применим радикальный признак |
Коши к ряду |
n n2
n 1 n 1
.
Вычислим
|
|
|
|
n |
n2 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
l lim n u |
n |
lim n |
lim |
|
|
1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|||||||
n |
n |
n |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По радикальному признаку Коши исходный ряд сходится.
2.7. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с положительными членами
Теорема Если члены числового ряда с положительными чле-
нами un могут быт представлены как значения монотонно убы-
n 1
49
вающей |
на промежутке 1, |
функции |
f x |
так, что u1 f 1 , |
|
u2 f 2 , u3 |
f 3 и т.д., то числовой ряд |
un и несобственный |
|||
|
|
|
|
n |
1 |
интеграл |
f |
x dx одновременно либо сходятся, либо расходятся. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
Несобственный интеграл |
f x dx |
геометрически соответст- |
|||
|
|
|
1 |
|
|
вует площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху гра-
фиком функции y f x , правая сторона которой удалена на бес-
конечность (Рис 1).
y
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un 1 |
|
un |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 2 3 |
|
|
|
n-1 |
n |
|||||
|
|
|
|
|
Рис 1.
Построим прямоугольники на отрезке 1, n , суммарная пло-
щадь которых с недостатком и с избытком соответствует площади криволинейной трапеции. Основаниями прямоугольников являются отрезки 1,2 , 2,3 , 3,4и т.д.. Площадь прямоугольников с избыт-
50