![](/user_photo/_userpic.png)
умк_Ярмолович_ч
.1.pdf![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK161x1.jpg)
|
A0 |
|
∆h |
7 |
|
|
н.в. |
|
|
|
|
|
|
A8 |
∆i |
||
h9 |
М9 |
|
|||
9 |
|
|
|||
|
|
|
N10 11 |
12 |
|
h10 |
B9.2 |
|
|
||
|
10 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
9 |
|
L |
B |
|
A |
||
|
||
A |
||
0 |
|
L∆
D
1
C
1м
B
2м
Рис. 13.19
Построения необходимо выполнять в следующей последовательно-
сти:
1.Из точки А опускаем перпендикуляр на плоскость ∆, т.е. проводим через точку А8 прямую, параллельную масштабу уклона ∆i.
2.Градуируем проекцию перпендикуляра. Для этого определим ин-
тервал перпендикуляра по формуле LАВ = 1/L∆, где L∆ – интервал плоскости, LАВ – интервал прямой АВ, перпендикулярной плоскости.
Интервал перпендикуляра можно определить другим способом с помощью прямоугольного треугольника. Для этого в любом месте чертежа возьмем произвольную точку В и через нее проведем отрезок ВD, равный единице линейного масштаба. Отложим отрезок DС, равный интервалу линии наклона плоскости на перпендикуляре к прямой ВD, соединим точки В и С. Проведем прямую АВ, перпендикулярную ВС и пересекающуюся с прямой DС в точке А. Отрезок АD равен интервалу перпендикуляра. Откладываем от точки А8 вверх и вниз на прямой отрезки, равные интервалу перпендикуляра, таким образом, чтобы отметки прямой возрастали в сторону, противоположную направлению возрастания отметок масштаба уклона.
3.Проведем через перпендикуляр вспомогательную плоскость, изобразив ее горизонталями n9 и n10.
4.Строим линию M9N10 пересечения двух плоскостей (одноименные горизонтали двух плоскостей будут пересекаться).
5.Находим точку встречи B9,2 перпендикуляра с плоскостью. Отрезок А8B9,2 является проекцией некоторого расстояния, натуральная величина которого определена с помощью прямоугольного треугольника
А0А8К9,2.
161
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK162x1.jpg)
ЛЕКЦИЯ 14. ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ (продолжение)
14.1.Проекции тел и поверхностей.
14.2.Пересечение поверхности плоскостью.
14.3.Пересечение прямой линии с поверхностью.
14.4.Примеры решения инженерных задач в проекциях
счисловыми отметками.
14.1. Проекции тел и поверхностей
Проекции с числовыми отметками позволяют судить о форме тел по одной горизонтальной проекции и высотным отметкам, указывающим характерные точки поверхности.
Многогранники задаются проекциями своих ребер с указанием отметок их вершин (рис. 14.1, а и б).
Если тела ограничены кривыми поверхностями, то они задаются проекциями горизонтальных сечений, которые являются линиями пересечения поверхности данного тела плоскостями, параллельными плоскости П0 и отстоящими друг от друга на расстоянии, которое называется высотой сечения и может быть равно 1 м, 5 м, 10 м и т.д.(рис. 14.2, а и б).
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
П0 A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
B4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A1 |
|
|
|
B4 |
|
S7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C S7 |
|
|
C2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 1 2 |
3м |
1 2 3м |
|||||||
|
|
C2 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 14.1
162
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK163x1.jpg)
S |
|
|
|
|
2 ∆ |
|
0 1 |
2S3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
Г |
|
2 |
|
S3 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1 2м |
|
0 |
П0 |
|
0 |
|
а) |
|
|
б) |
|
|
|
Рис. 14.2 |
|
|
Земная (топографическая) поверхность – это поверхность случайного вида, образование которой не описывается математическими законами.
Топографическая поверхность изображается проекциями горизонталей, которые представляют собой линии пересечения земной поверхности плоскостями уровня и сопровождаются отметками, указывающими высоту сечения (рис. 14.3, а и б).
a)
20
10
0
0 5 10м
П0
б)
|
0 |
|
|
|
0 |
1020 |
10 |
|
0 |
П0 |
|
0 |
5 |
10м |
Рис. 14.3
163
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK164x1.jpg)
14.2. Пересечение поверхности плоскостью
Линией пересечения любой поверхности плоскостью называется линия, соединяющая точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.
Сечение топографической поверхности вертикальной плоскостью называется профилем.
На рис. 14.4, а топографическая поверхность задана горизонталями (17, 18, 19, 20), плоскость – горизонтальным следом, совпадающим с направлением АВ. В точках пересечения прямой АВ с горизонталями поверхности восстанавливаем перпендикуляры, на которых откладываем отметки точек и соединяем их плавной линией. Профиль можно строить совмещенным с планом, можно вынести за пределы чертежа (см. рис. 14.4).
A |
|
А-B |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
B |
20 19 |
18 17 |
18 |
|
17 18 19 20 |
||
17 |
0 1 |
2 3м |
|
|
|
|
|
Рис. 14.4
На рис. 14.5 дано построение профиля по линии Е-Е многогранной поверхности. Так как каждая грань поверхности является плоскостью, то достаточно спроецировать две точки с каждой грани, чтобы получить линию пересечения этой грани плоскостью.
На рис 14.6 топографическая поверхность, заданная горизонталями 11 – 15, пересекается произвольной плоскостью, заданной масштабом
уклона ∆i.
Изображаем плоскость ∆ горизонталями, перпендикулярными масштабу уклона ∆i, и находим точки пересечения одноименных горизонталей. Соединяем плавной линией полученные точки. Линия L11M13N15 является линией пересечения поверхности плоскостью.
164
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK165x1.jpg)
7 |
Е-Е |
|
|
∆i |
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
14 |
15 |
|
|
|
13 |
N15 |
15 |
|
Е |
Е |
12 |
M13 |
|
14 |
|
|
11 |
|
13 |
|
|
76 |
|
|
12 |
|
|
L11 |
|
11 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
0 1 2 3м |
|
|
|
|
|
Рис. 14.5 |
Рис. 14.6 |
|
|
|
14.3. Пересечение прямой линии с поверхностью
Чтобы построить точку пересечения прямой А8В12 с поверхностью, необходимо заключить прямую в плоскость общего положения (рис. 14.7). Для этого градуируем прямую А8В12 и через точки 8, 9, 10 и 11 проводим в произвольном направлении горизонтали, которыми задаем плоскость. Точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками соединяем плавной кривой. Полученная линия встречается с заданной прямой в искомой
точке (К9,8).
Для нахождения точки пересечения прямой с поверхностью можно использовать другой способ. На рис. 14.8 дана прямая АВ, пересекающая топографическую поверхность. Все построения выполняем в следующем порядке:
1)заключаем прямую в вертикальную плоскость Е-Е;
2)строим профиль топографической поверхности;
3)спроецировав прямую на вспомогательную вертикальную плоскость, отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямой АВ с профилем топографической поверхности.
Отметки точек определяем по их фронтальным проекциям (M1,7, N2,2).
165
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK166x1.jpg)
12 |
11 10 |
|
|
|
|
B |
A8 |
9 |
|
|
N2.4 |
||
K9,89 |
A М1.7 |
|
|
|
||
8 |
|
|
E |
|||
|
10 |
|
E |
0 |
|
B2.5 |
|
11 |
|
A1.5 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
0 1 2 3м |
||
|
B12 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.7 |
|
|
Рис. 14.8 |
|
|
14.4. Примеры решения инженерных задач в проекциях с числовыми отметками
При проектировании различных инженерных земляных сооружений, таких как строительные площадки, железные и автомобильные дороги и пр., приходится строить их откосы и линии пересечения этих откосов.
Откосами называются плоскости и поверхности, которые ограничивают строительную площадку со всех сторон и соединяют ее с поверхностью местности.
В том случае, когда уровень строительной площадки выше уровня поверхности местности, площадка выполняется в виде насыпи, а когда ниже, то в виде выемки. Углы наклона (уклона) откосов задаются при проектировании сооружения и зависят от типа грунта.
Пример 1.
Построить откосы строительной площадки и определить линии их пересечения.
На рис. 14.9 показан план строительной площадки, ограниченной контуром АВСDЕ. Отметка уровня площадки +10 м. Отметка горизонтальной плоскости местности, на которой выполняется площадка, равна +7 м.
Площадка ограничена отрезками прямых (АВ, BC, СД, ЕА) и дугой окружности (DЕ), центр которой находится в точке S.
Проектирование откосов площадки заключается в проведении плоскостей с заданным уклоном i∆ = 1:1,5, iГ = 1:1,5, iP = 1:1, iТ = 1:1 через горизонтальные отрезки прямых и поверхность прямого кругового конуса, заданного горизонталью (дуга DЕ с отметкой +10 м) и уклоном образующей i = 1:1,5.
166
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK167x1.jpg)
+7,000
M7 |
∆i |
N7 |
|
|
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
S |
O7 |
|
C10 |
D10 |
E10 |
|
|
8 |
|||
|
Pi |
+10,000 |
9 |
|
8 |
Гi |
|
||
9 |
Τi |
|
|
|
|
B10 |
A10 |
|
|
|
9 |
|
||
L7 |
|
8 |
|
K7 |
|
|
|
0 1 2 3м
Рис. 14.9
Интервалы плоскостей Р и Т равны L = 1/i = 1/1:1 = 1, поэтому проводим горизонтали параллельно отрезкам В10С10 и А10В10 на расстоянии, равном одной единице масштаба. Интервалы плоскостей Г, ∆ и конической поверхности равны L = 1/1:1,5 = 1,5, поэтому горизонтали плоскостей Г, ∆ и горизонтали конуса, представляющие собой окружности с центром S, проводим с интервалом, равным полутора единицам масштаба. Для определения линии пересечения откосов находим точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками. Плоскости Р и Т, ∆ и Р, Т и Г пересекаются по прямым В10L7, C10M7 и А10К7 соответственно. Отрезок прямой А10Е10 касается дуги окружности DЕ, поэтому плоскость Г, проведенная через этот отрезок, касается поверхности конуса, так как плоскость и коническая поверхность имеют одинаковые уклоны (Е10О7 – линия касания плоскости Г конуса).
Плоскость ∆, в отличие от плоскости Г, не касается конуса, а пересекает его поверхность по кривой линии (D10 N7), т.к. плоскость ∆ проводится через прямую СD, пересекающую конус. Для определения линии пересечения конической поверхности плоскостью находим точки пересечения их горизонталей с одинаковыми отметками.
167
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK168x1.jpg)
Пример 2.
Построить линии пересечения откосов горизонтальной площадки с отметкой кромки +20 м и дороги, соединяющей площадку с местностью
(рис. 14.10).
Уклоны откосов площадки равны 1:2, уклон дороги – 1:4. Отметка горизонтальной местности равна +17 м. Площадка выполняется в виде насыпи.
Из рис. 14.10 видно, что дорога, соединяющая площадку с местностью, является участком прямолинейной наклонной дороги.
∆i |
|
|
|
|
|
|
|
+20,000 |
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
2 |
20 |
E20 |
|
|
|
|
|
|
A20 |
|
|
|
|
|||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
1 |
B19 |
19 |
|
1 |
8 |
|
|
|
8 |
|
|
Pi |
|
|
||
|
Г |
|
|
|
|
|||
17 |
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 |
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
L17 |
|||
K17 |
|
|
|
|
||||
7 |
C18 |
18 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
+17,000 |
D17 |
17 F17 |
|
|
|
0 1 2 3м |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.10 |
|
|
|
|
|
Кромки дороги А20D17 и Е20F17 не являются горизонталями, поэтому горизонтали откоса на этом участке не параллельны им.
Решение задачи сводится к проведению плоскости заданного уклона i = 1:2 через наклонную прямую А20D17. За вершину прямого кругового конуса с вертикальной осью примем точку А. Основание конуса расположено в горизонтальной плоскости с отметкой 17.
Радиус основания (интервал) этого конуса определяется по формуле: R = L = 1/i = 1/1:2 = 2 м.
Поэтому проекция горизонтали 19, проходящей через точку В19, коснется дуги окружности, радиус которой равен двум единицам масштаба.
168
![](/html/69887/1880/html_8BkTk9KrBe._VDd/htmlconvd-kSBDFK169x1.jpg)
Остальные горизонтали этого откоса (плоскости Г) проводим через точки прямой АD (С18, D17) параллельно горизонтали с отметкой 19. Аналогично строим откос (плоскость Р) через прямую Е20F17.
Горизонталиоткоса(плоскости∆) проводимсинтерваломL = 1/1:2 = 2 м. Линию пересечения откоса площадки (плоскости ∆) с откосами дороги (плоскостями Г и Р) определяем по точкам пересечения их горизонта-
лей с одинаковыми отметками (А20К17 и Е20L17).
Пример 3.
Построить границы земляных работ при проектировании строительной площадки с примыкающим к ней со стороны насыпи прямолинейным участком дороги на топографической поверхности.
На рис. 14.11 дана строительная площадка с отметкой + 42 м на заданной топографической поверхности. Уклоны откосов площадки равны: уклон выемки i = 1:1, уклон насыпи 1:1,5, а уклон дороги i = 1:6.
47 |
46 |
45 |
44 |
43 |
42 |
41 |
40 |
|
|
|
|
∆i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
46 |
40 |
|
|
|
Тi |
|
|
|
44 |
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40
41
+42,000 40
|
|
8 |
|
44 |
|
3 |
|
40 |
6 |
||
|
|||
|
|
||
46 |
|
3 |
|
|
|
||
|
38 |
Гi |
|
|
|
||
Pi |
|
|
40
0 1 2 3м
39
39
38
37
36
35
Рис. 14.11
169
Для определения границы земляных работ необходимо выполнить следующие построения:
1.Определить границы выемки и насыпи на пересечении 42-ой горизонтали топографической поверхности с кромками площадки, имеющими отметку 42. Точки пересечения называются точками нулевых работ.
2.Провести горизонтали откосов выемки и насыпи с интервалами
Lв = 1/iв = 1 м и Lн = 1/iн = 1,5 м (плоскости откосов выемки и насыпи задать масштабами уклонов ∆i, Рi).
3.Провести градуирование бровок дороги (42 – 39).
Для проведения горизонталей откосов, проходящих через бровки дороги, необходимо провести вспомогательные конусы с радиусами оснований R = Lн = 1/iн = 1,5 м, т.к. дорога расположена со стороны насыпи (плоскости откосов насыпи задать масштабами уклонов Гi ,Тi).
4.Построить линии пересечения соседних откосов как точки пересечения горизонталей откосов с одинаковыми отметками.
5.Построить границы земляных работ как линии пересечения откосов выемки и насыпи с топографической поверхностью. Эти линии проходят через точки пересечения горизонталей откосов и горизонталей топографической поверхности с одинаковыми отметками.
170