ЛР7
.docПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
МИНИСТЕРСТВО науки и высшего образования
российской федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра общей и технической Физики
Отчет к лабораторной работе №7
По дисциплине Физика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: Определение момента инерции твердых тел с помощью маятника Максвелла
Автор: студент гр. СПС-18 ______________ Петров Н.Е.
(подпись) (Ф.И.О.)
ОЦЕНКА: _____________
Дата: 28.02.2019
ПРОВЕРИЛ _доцент _____________ / Ломакина Е.С./
(должность) (подпись) ( Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
2019
Цель работы:
Изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.
Краткие теоретические сведения:
В данной лабораторной работе изучается явление вращательного движения тел.
Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.7.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При этом диск на стержне поднимается вверх. Если не удерживать диск в верхнем положении, то возникает поступательное движение маятника вниз и его вращательное движение вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень. Диск снова поднимается вверх и движение повторяется, т.е. возникают колебания.
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.
Момент инерции тела величина аддитивная. Если мысленно представить тело состоящим из большого число весьма малых элементов mi, то момент инерции такого дискретного тела приближённо определяется по формуле
Приближение тем точнее, чем больше количество разбиений тела на элементарные массы mi.
При бесконечно большом значении числа элементарных масс i стремится к бесконечности, а mi. стремится к нулю. Тогда момент инерции сплошного твёрдого тела (непрерывное распределение масс) определяется по формуле
= (7.1)
где ri - расстояние от элемента до оси вращения; - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения.
Таким образом, задача нахождения момента инерции различных тел сводится к интегрированию по формуле (7.1) для соответствующего объёма тела.
При выводе расчётных формул использованы соотношения для моментов инерции тел, и закон сохранения полной механической энергии.
Учитывая, что момент инерции тела величина аддитивная, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла Jт можно определить в виде суммы моментов инерции, полученных как результат интегрирования по формуле (7.1) для его трёх элементов: оси маятника, диска и кольца, надетого на диск
(7.2)
В формуле (7.2):
момент инерции оси маятника ;
момент инерции диска
момент инерции кольца, надетого на диск ;
здесь R0, m0, RД, mД, RК, mК - соответственно радиусы и массы оси, диска и кольца.
Кинетическая энергия маятника массой m, поднятого и зафиксированного на высоте h, равна нулю. Полная механическая энергия определяется только потенциальной энергией Eп = mgh.
В нижнем положении маятника Eп = 0, и полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений
(7.3)
При таком движении модуль угловой скорости , модуль линейной скорости и радиус диска R связаны соотношением
(7.4)
Из закона сохранения следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.
(7.5)
Отсюда, учитывая соотношение (4), момент инерции маятника
(7.6)
Для равнопеременного движения связь между расстоянием h, пройденным телом, величиной скорости и временем t имеет вид
(7.7)
Подставляя последнее выражение в формулу (7.6), получим зависимость для определения экспериментального значения момента инерции
(7.8)
Формулу (7.8) можно вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения (см. лаб. работа № 5)
Схема установки:
Общий вид установки представлен на рис. 7.2. В основании 1установки закреплена колонка 8 и электронный секундомер 2, к колонке 8 прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.
Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя, таким образом, момент инерции системы.
Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик фиксирует момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.
Рисунок 1 – Схема установки
Основные расчетные формулы:
Теоретический момент инерции маятника
кг*м2
Момент инерции оси маятника
кг*м2 , где
mo – масса оси [mo] = кг
Ro – радиус оси [Ro] = м
Момент инерции диска
кг*м2 , где
mд – масса диска [mд] = кг
Rд – радиус диска [Rд] = м
Момент инерции кольца
кг*м2 , где
mк– масса оси [mк] = кг
Rк – радиус оси [Rк] = м
Экспериментальный момент инерции маятника
кг*м2 , где
m – полная масса маятника [m] = кг
R – радиус маятника (кольца) [R] = м
t – среднее время падения [t] = с
h – длина маятника [h] = м
Формулы для расчета погрешностей косвенных и прямых измерений:
Средняя квадратичная погрешность экспериментального момента инерции
Погрешность среднего времени
Погрешности прямых измерений:
Рисунок 2 – Таблица погрешностей приборов
Исходные данные:
d0 = 0,0100 ± 0,0005 м
dd = 0,0860 ± 0,0005 м
dk = 0,1050 ± 0,0005 м
h = 0,4050 ± 0,0005 м
m1 = 0,264 ± 0,001 кг
m2 = 0,394 ± 0,001 кг
m3 = 0,523 ± 0,001 кг
m0 = 0,032 ± 0,001 кг
md = 0,124 ± 0,001 кг
Ход работы:
1. Включаем установку, надеваем на диск первое кольцо и проводим десять измерений времени падения. Затем то же самое повторяем с двумя оставшимися кольцами.
2. Определяем среднее значение времени падения маятника, используя значения времени измеренные по прибору.
3. Вычисляем общую массу маятника по формуле: .
4. Вычисляем теоретическое значение момента инерции маятника Jт по формуле (7.2).
5. Вычисляем экспериментальное значение момента инерции маятника Jэ по формуле (7.8).
6. Строим графики зависимости момента инерции маятника Jт и Jэ от массы.
Рисунок 3 – Зависимость теоретического и экспериментального моментов инерции от массы
7. Вычислим среднюю квадратичную погрешность для полученного экспериментально значения момента инерции.
Таким образом, средняя квадратичная погрешность для среднего времени tcp = (tcp1 + tcp2 + tcp3)/3 = 2,1621 ± 0,0523 с. Равна 0,0169678 кг*м2
7. Итак, J = 0,3389631 ± 0,0169678 кг*м2.
8. Jт = 0,0019295 кг*м2. Следовательно значение экспериментального момента инерции в больше значения теоретического 175.
Рисунок 4 – Таблица результатов измерений
Вывод:
В ходе данной лабораторной работы мы изучили маятник Максвелла, обнаружили прямую зависимость момента инерции маятника от его массы. При этому получили большое расхождение между экспериментальным и теоретическим моментами инерции.