ИДЗ Рябушко РЕШЕНИЯ / ИДЗ 3.1-2
.pdfИДЗ 3.1 – Вариант 2
Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4)
Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2. Вычислить:
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;
1.2 A1(3, −1, 2), A2(−1, 0, 1), A3(1, 7, 3), A4(8, 5, 8)
а) уравнение плоскости А1А2А3
Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам
x x A |
y yA |
z zA |
||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
x A |
2 |
x A |
yA |
2 |
yA |
zA |
2 |
zA |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|||
x A |
3 |
x A |
yA |
3 |
yA |
zA |
3 |
zA |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
0
,
(1) составляем уравнение плоскости А1А2А3
Подставляя координаты точек A1, A2, A3 в (1) получим
|
x 3 |
y 1 |
z 2 |
|
|
|
x 3 |
y 1 |
z 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 3 |
0 1 |
1 2 |
|
0 |
|
4 |
1 |
1 |
0 |
|
1 3 |
7 1 |
3 2 |
|
|
|
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая определитель третьего порядка по элементам первой строки, получим:
x 3 1 |
1 y 1 |
4 |
1 |
z 2 |
4 |
1 |
0 |
8 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
8 |
|
x 3 1 1 1 8 y 1 4 1 1 2 z 2 4 8 1 2 0 |
|||||||
x 3 1 8 (y 1) 4 2 z 2 32 2 0 |
|
||||||
9 x 3 6(y 1) 30 z 2 0 |
|
|
|
|
|||
9x 27 6y 6 30z 60 0 |
|
|
|
|
9x + 6y − 30z + 39 = 0 − уравнение плоскости А1А2А3
б) уравнение прямой А1А2
Учитывая уравнение прямой,
x x A |
|
y yA |
||||
виде |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x A |
|
|
yA |
||
x A |
2 |
|
yA |
2 |
||
|
1 |
|
|
1 |
проходящей через две точки, уравнение А1А2 можно записать в
|
z zA |
|
||
|
|
|
1 |
, |
zA |
|
zA |
||
|
2 |
|
||
|
|
1 |
|
получаем:
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
||||||
|
|
0 1 |
1 2 |
|
||||||
1 3 |
|
|
|
|||||||
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
|
− уравнение прямой А1А2 |
||||
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
в) уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3
Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости направляющего вектора s можно взять нормальный вектор плоскости А1А2А3.
А1А2А3 n k,
следует, что в качестве l, m 9, 6, 30
Тогда уравнение прямой А4М с учетом уравнения
виде
x 8 |
|
y 5 |
|
z 8 |
|
|
30 |
||
9 |
6 |
|
x x k
A |
|
y y |
4 |
|
|
|
l |
|
|
|
A4
|
z z |
|
m |
||
|
A4
, запишется в
г) уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
Составим уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2 используя формулу
x x |
A |
3 |
|
y y |
A |
3 |
|
z z |
A |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m |
|
|
n |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- точка, через |
|||
где s = {m; n; p} − направляющий вектор искомой прямой; x A |
; yA |
; |
zA |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
которую проходит искомая прямая.
Так как прямая А3N параллельная прямой А1А2, то у них общий направляющий вектор
sA N sA A |
2 |
|
3 |
1 |
4, 1,
1 , и уравнение прямой А3N, проходящей через точку A3(1, 7, 3),
имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
y 7 |
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) уравнение плоскости, проходящей через точку А4 |
перпендикулярно к прямой А1А2. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Т.к. искомая плоскость проходящей через точку A4(8, 5, 8) перпендикулярна прямой A1A2, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
еѐ нормальным вектором будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A A |
2 |
x |
A |
|
x |
A |
, y |
A |
|
y |
A |
, z |
A |
|
z |
A |
1 3, 0 ( 1), 1 2 4,1, 1 |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется еѐ |
||||||||||||||||||||||||||||||
нормальным вектором. Уравнение |
|
|
B y yA |
|
C z zA |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x x A |
4 |
4 |
4 |
0 |
(1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и имеющую нормальный |
|||||
определяет плоскость, проходящую через точку |
A4 x A |
4 |
, yA |
4 |
, zA |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вектор n A1A2 |
A, B, C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем искомое уравнение плоскости:
4 x 8 1 y 5 1 z 8 0
4x 32 y 5 z 8 0
4x y z 35 0
4x y z 35 0
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3
Учитывая уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение A1A4 можно записать в
|
x x A |
|
y yA |
|
z zA |
|
||||||
виде: |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
, |
x A |
4 |
x A |
yA |
4 |
yA |
zA |
4 |
zA |
||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
тогда
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
||
8 3 |
5 1 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
||
5 |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x x A |
|
y yA |
|
z zA |
|
Получили каноническое уравнение прямой вида |
1 |
|
1 |
|
1 |
||||||
k |
l |
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, 9x + 6y − 30z + 39 = 0 − уравнение плоскости А1А2А3 (Ax + By + Cz + D = 0)
Выпишем значения A = 9; B = 6; C = −30; k = 5; l = 6; m = 6
По формуле sin |
|
|
Ak Bl Cm |
|
|
|
вычисляем угол между прямой А1А4 и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
2 |
B |
2 |
C |
2 |
k |
2 |
l |
2 |
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
плоскостью А1А2А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
|
9 5 6 6 ( 30) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 36 |
180 |
|
|
99 |
0,315 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31,89 9,85 |
||||
92 62 ( 30)2 |
|
52 62 |
62 |
|
|
|
|
81 36 900 |
|
25 36 36 |
arcsin 0,315 18
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;
Плоскость α задана уравнением A1x + B1y + C1z + D = 0 и ее вектор Плоскость β задана уравнением A2x + B2y + C2z + D = 0 и ее вектор Тогда согласно формуле угла φ между плоскостями
|
n |
|
n |
|
|
|
A |
A |
2 |
B B |
2 |
C C |
2 |
|
|||||
сos |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
n |
n |
A |
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|
A |
2 |
B |
2 |
C |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию:
вектор нормали координатной плоскости Oxy: nα = {0; 0; 1} вектор нормали плоскости А1А2А3: nβ = {9; 6; −30}
нормали nα = {A1; B1; C1} нормали nβ = {A2; B2; C2}
2 2
Находим косинус угла между плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3
сos |
|
0 9 0 6 1 ( 30) |
|
|
30 |
|
|
30 |
0,940 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31,89 |
|||||
02 02 12 92 62 ( 30)2 |
1017 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Решить следующие задачи
2.2 Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка M1M2 перпендикулярно к этому отрезку, если M1(1, 5, 6), M2(−1, 7, 10).
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем координаты отрезка M1M2 |
|
|
|
|
|
1 1, 7 5, 10 6 2, 2, 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
M M |
2 |
x |
M |
|
x |
M |
, y |
M |
|
|
y |
M |
, z |
M |
|
z |
M |
||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем середину отрезка M1M2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x M |
x M |
2 |
|
yM |
yM |
2 |
|
|
zM |
zM |
2 |
|
|
|
1 ( 1) |
|
5 7 |
|
6 10 |
||||||||||||||||
O |
|
1 |
|
|
; |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
1 |
|
|
O |
|
|
; |
|
; |
|
|
O 0; 6; 8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Составим уравнение плоскости проходящей через середину отрезка M1M2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно к этому отрезку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x x |
O |
B y y |
O |
C z z |
O |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
За направляющий вектор возьмем отрезок M1M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n A, B, C 2, 2, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Искомое уравнение плоскости проходящей через середину отрезка M1M2 |
перпендикулярно к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому отрезку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 x 0 2 y 6 4 z 8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2y 12 4z 32 0
2x 2y 4z 44 0
x y 2z 22 0
3. Решить следующие задачи
3.2 Доказать, что прямая |
x 1 |
|
y 1 |
|
z |
||||||||||||
2 |
|
1 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 2 |
|
y |
|
z 4 |
лежит в этой плоскости |
||||||||||||
2 |
1 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказать, что прямая |
|
x 1 |
|
y 1 |
|
z 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
3 |
параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а прямая |
|
параллельна плоскости 2x + y – z = 0
Условие параллельности прямой и плоскости, если скалярное произведение равно нулю, то прямая параллельна плоскости
|
|
|
|
|
|
|
A l B m |
C n |
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
где направляющий вектор прямой |
e l1; m1; n1 2; 1; 3 |
||||||||||||
вектор нормали плоскости q A1; B1;C1 2; 1; 1 |
|||||||||||||
В итоге |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 1 ( 1) 1 3 4 1 3 0 что и требовалось доказать |
|||||||||||||
прямая |
x 2 |
|
y |
|
z 4 |
лежит в этой плоскости 2x + y – z = 0 |
|||||||
2 |
1 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax1 |
By1 |
Cz1 0 |
− точка принадлежит плоскости |
||||||||||
Al Bm Cn 0 − прямая и плоскость параллельны |
где e l; m; n 2; 1; 3 ;
q A; B;C 2; 1; 1 ; точка
r 2; 0; 4
2 2
2 2
1 1
0 ( ( 1)
1) 4( 1)
0 − точка принадлежит плоскости3 0 - прямая и плоскость действительно параллельны