9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8
.pdfПервый интеграл при помощи замены t 2 + q - p2/4 = z приводится к табличному (ОК ¹ 15, формула 2), второй является табличным (формула 15).
Пример:
|
x dx |
|
|
|
|
ì |
|
x |
2 |
+ 2x + 5 = x + |
1 |
2 |
+ |
ü |
|
|
t |
- 1 |
|
||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
4, ï |
|
ò |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ý = |
|
|
dt = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
- |
|
|
|
|
|
= |
t2 |
+ 4 |
|||||||||||||||||
|
x2 + 2x + 5 ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx |
|
|
1 |
|
t, |
x |
|
|
t |
|
|
1, dx |
|
|
|
dt þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
ì |
2 |
+ |
4 = z, |
ü |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
= |
|
t |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ò t |
|
|
|
|
|
ò t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 + 4 |
|
2 + 4 î2t dt = dz þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
ò |
dz |
- |
1 |
arctg |
t |
= |
1 |
ln | z | - |
1 |
arctg |
t |
+ c = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
1 |
ln | x2 + 2x + 5| - |
1 |
arctg |
x + 1 |
+ c. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ax + B
4 òèï. (x2 + px + q)k , A, B, p, q — заданные числа О R, x2 + px + q
не имеет действительных корней.
Интегрирование этой рациональной дроби содержится в [3. C.350].
16.1.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
Пусть знаменатель правильной рациональной |
дроби |
||||
R(x) = |
Pm (x) |
может быть представлен в виде Q |
(x) = (x - a |
) ... ´ |
|
|
|||||
|
Qn (x) |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
´ (x - al)(x - b)k(x2 + px + q) (множителей вида (x - b)k, (x2 + px + q) может быть несколько), где a1, ..., al, b, q, p — заданные числа О R,
k О N, трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней. Тогда R(x) представляется в виде суммы простейших дробей
1–3 типов:
R(x) = |
A1 |
+ ... + |
|
Al |
|
+ |
|
Bk |
|
+ |
|
|||||
x - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
- a |
(x |
- |
|
k |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
l |
|
b) |
|
|
||||||
|
Bk -1 |
|
B1 |
|
|
|
|
Mx + N |
|
|
||||||
+ |
|
+ ... + |
|
+ |
|
, |
||||||||||
(x - b)k -1 |
(x - b) |
x2 + px + q |
ãäå A1, ..., Al, B1, ..., Bk, M, N — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Pm(x). Доказательство представлено в [3. C.354].
Примеры:
1) |
|
3x + 2 |
= |
|
|
|
3x + 2 |
|
= |
|
A |
|
|
+ |
|
B |
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 - x - 2 |
|
|
( x |
+ 1) ( x - 2) |
|
|
|
|
x + |
1 x - |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
A |
|
+ |
|
|
|
B |
|
+ |
|
|
D |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
2 ( x - 2) |
( x + 1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( x + 1) |
|
|
|
|
|
|
x + 1 x - 2 |
||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
x |
|
|
|
|
= |
A |
|
|
|
+ |
B |
|
|
+ |
|
Dx + E |
. |
|||||||||||
|
|
|
( x |
|
+ 1) |
|
|
|
|
x - |
|
|
|||||||||||||||||||
|
( x - 2) |
2 |
2 |
|
|
( x - 2) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
+ 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.
Пример:
I = ò |
|
|
|
x3 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
2 |
- x |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
= x +1 + |
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
|
x2 - x - 2 |
( x +1) ( x - 2) |
(см. пример в |
||||||||||||||||||||
ï. 16.1.1), òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I = ò(x + 1) dx + ò |
|
|
|
3x + 2 |
dx = |
x2 |
+ x +ò |
|
3x + 2 |
dx. |
||||||||||||||
( x |
+ 1) ( x - 2) |
|
( x + 1) ( x - 2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
Правильную рациональную дробь под интегралом предста- |
||||||||||||||||||||||||
вим в виде суммы простейших: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
= |
A |
|
+ |
B |
|
= |
A ( x - 2) + B ( x + 1) |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( x + 1) ( x - 2) |
|
x + |
1 x - 2 |
|
( x + 1) ( x - 2) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 = A(x - 2) + B(x + 1). |
|
|
|
(16.1) |
Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):
|
|
ì |
1 |
|
|
|
x: A + B = 3 |
ìA + B = 3 |
ïA = |
|
, |
|
|
3 |
||||||
x0: -2A + B = 2 |
Û í |
Û í |
|
|
|
|
î3A = 1 |
ï |
|
2 |
|
||
|
|
ïB = 2 |
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
î |
|
3 |
|
Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
A = |
1 |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x = -1: -3A = -1ü |
ï |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = 2: |
|
|
|
|
ý |
Û í |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3B = 8 þ |
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïB = 2 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
Окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I = |
x2 |
+ x + |
1 |
ò |
dx |
|
+ |
8 |
|
ò |
dx |
|
= |
x2 |
|
+ x + |
1 |
ln|x + 1| + |
8 |
ln|x - 2| + c |
||||||
|
|
x + |
|
|
x - |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
|
1 3 |
|
|
2 2 |
|
|
3 |
|
3 |
16.2. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида т R(sin x, cos x) dx, где R(sin x, cos x) — рациональная функция от sin x и cos x (рациональной функцией R(u,v) называется зависимость, связывающая переменные u и v с помощью четырех арифметических операций).
Интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби R(t) путем так называемой универсальной подстановки tg(x/2) = t,
x = 2arctg t, dx = |
2 dt |
. Найдем, используя тригонометрические |
1 + t2 |
|
|
формулы, выражения для sin x и cos x через t: |
|
|
2sin |
x |
cos |
x |
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
||||||||||||
sin x = |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ t2 |
|||||||||||
|
sin |
2 |
x |
+ cos |
2 x |
|
|
1 + tg |
2 x |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos2 |
|
x |
- sin2 |
x |
|
|
1 - tg2 |
|
x |
|
|
|
|
1 - t2 |
|
||||||||||||
cos x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
= |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cos |
2 x |
+ sin |
2 x |
|
|
1 + tg |
2 x |
|
|
|
1 + t2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
Пример: ò |
dx |
= {tg |
x |
= t} = ò |
dt |
= ln|t| + c = ln|tg |
x |
| +c. |
|
|
|
|
|||||
sinx |
2 |
t |
2 |
Укажем случаи, когда более выгодными являются другие подстановки.
2. Интегралы вида т sinmx cosnx dx, m, n ³ 0, целые числа.
а) m = 2p + 1 Ю cosx = t; n = 2q + 1 Ю sin x = t. Действительно, т sin2p+1x cosnx dx = ò (sin2x)pcosnx sin x dx = -ò (1 - cos2x)pcosnx dcos x = = {cos x = t} = -ò (1 - t2)ptndt.
Аналогично для n = 2q + 1.
á) m = 2p, n = 2q Þ sin2x = (1 - cos2x)/2, cos2x = (1 + cos2x)/2. Переход к удвоенному аргументу приводит к понижению степени.
Пример:
ò |
cos4 x dx = |
ò |
æ1 |
+ cos 2x ö2 |
ò |
dx |
|
|
ò |
cos 2x |
|
1 |
ò |
cos2 |
|
|||||||||||
ç |
|
|
|
|
÷ dx = |
|
+ |
|
|
|
dx + |
|
|
2x dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 |
ø |
4 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||
= |
1 |
x + |
1 |
sin 2x + |
1 |
ò( 1 + cos 4x) dx = |
3 |
x + |
1 |
sin 2x + |
1 |
sin 4x + c. |
||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
32 |
|
|
3. Интегралы вида т R(tgx) dx. Замена вида tg x = t, x = arctg t,
dx = |
|
dt |
|
приводит к интегралу от рациональной функции R*(t). |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
1 + t2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ò |
tg4 x dx = |
{ tg x = t, x = arctgt, dx = |
|
dt |
} |
= |
||||||||||
|
|
|
|
1 + t 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= ò |
|
t 4 |
dt = ò(t 2 -1) dt + ò |
|
dt |
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ t 2 |
|
+ t 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
t3 |
- t + arctg t + c = |
tg3x |
- tg x + x + c. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
16.3. Интегрирование иррациональных функций |
|||||||||||||||||||
Рассмотрим интеграл |
òR(x, n1 (ax + b)m1 , ..., nl (ax + b)ml ) dx, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
m |
, n |
, |
j = |
1,l |
— целые числа. Замена вида ax + b = tk, |
|||||||||||||||
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"
dx = |
1 |
kt |
k -1 |
dt, где k — общий знаменатель |
mj |
, j |
a |
|
nj |
||||
|
|
|
|
|
к интегралу от рациональной функции R*(t).
Пример:
|
|
|
x dx |
|
|
ì |
6 ü |
|
t |
3 |
× 6t |
5 |
dt |
||||||
ò |
|
|
|
|
ï x = t |
ï |
= ò |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= í |
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
t2 |
+ |
1 |
) |
t8 |
|||||||
|
( |
3 |
x + |
1) |
3 |
x |
4 |
ïdx = 6t5dt ï |
|
||||||||||
|
|
|
|
î |
þ |
|
|
|
|
|
|
|
= 6ò t 2d+t 1 = 6 arctg t + c = 6 arctg 6 x + c.
= 1,l, приводит
=
Аналогично поступаем, если вместо линейной функции ax + b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
стоит дробно-линейная |
|
|
. Интегрирование некоторых дру- |
|||||||||||||||||||
|
cx + d |
|||||||||||||||||||||
гих иррациональностей см. в ОК ¹ 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) ò |
|
|
|
x dx |
= ò |
|
|
x dx |
|
|
ìx + 1 = t, |
x = t -1ïü |
= ò |
(t - 1) dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= í |
dx = dt |
|
ý |
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
2 |
+ 2x + 2 |
( |
x + 1) |
2 |
+ 1 |
î |
|
ï |
|
t |
2 |
+ 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|||||||||||||
= ò |
t dt |
-ò |
|
dt |
= t 2 + 1 - ln | t + t 2 + 1 | + c = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
t 2 + 1 |
t 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= x2 + 2x + 2 - ln | x + 1 + x2 + 2x + 2 | +c. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) ò |
|
|
|
|
ì x |
= 2 sin t ü |
= ò 4 - 4 sin2t × 2cost |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 - x2 dx = í |
|
|
|
|
ý |
dt = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
îdx = 2 cos t þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò4cos2t dt = 2ò( 1 + cos 2t ) dt = 2t + sin 2t + c = 2t + 2 sin t cos t + c =
= 2arcsin x + x 1 - x2 + c.
24
Замечание. В 16.1–16.3 рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,
òe-x2 dx — интеграл Пуассона,
#
ò |
x |
||
|
sin x |
|
dx — интегральный синус, |
ò |
x |
||
|
cos x |
dx — интегральный косинус, |
|
|
|
dx
ò ln x — интегральный логарифм,
ò sinx2dx — üý интегралы т cosx2dx — ю Френеля,
ò 1 - k2sin2x dx, k ¹ 0;1.
Для их решения можно воспользоваться, например, разложением подынтегральной функции в ряд.
Литература: [1. C. 203–227]; [5. C. 255–262]; [6. C. 309–329]; [7. C. 167–176].
17. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Опорный конспект ¹ 17
17.1. Задачи о площади, работе. Понятие о.и.
|
b |
n |
||
|
Î: ò f (x) dx = lim |
å f (xi )Dxi , |
||
|
maxDxi ® |
i = |
||
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
ãäå DõE = xE - xE-1, xE Î [ xE-1, xE], E = 1,n. |
|||
|
b |
|
|
|
|
SD = ò f (x) dx |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
KKH |
|
|
|
A = ò f (x) dx — работа силы F = f (x), направление которой
a
совпадает с ОХ, на [a, b]
$
17.2. Свойства о.и.
b b b
10. ò( f (x) ± j(x)) dx = ò f (x) dx ±òj(x) dx
a a a
bb
20. òkf (x) dx = k ò f (x) dx, k = const
aa
ba
30. ò f (x) dx = -ò f (x)dx
ab
a
40. ò f (x) dx = 0
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
c |
|
|
b |
|
|||||||||
50. ò f (x) dx = ò f (x) dx +ò f (x) dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
c |
|
|||||||||
Геометрический смысл |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f (x) > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = S1 + S2 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O a |
|
|
c |
|
|
|
|
|
b |
X |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
60. j(x) £ y(x) " x Î[a,b] Þ òj(x) dx £ òy(x) dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
Геометрический смысл |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sy |
|
|
y =y(x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sj< Sy |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=j(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sj |
|
|
|
|
X |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%
70. Теорема о среднем
f (x) Î C[a,b] Þ $ x Î [a,b]:
b
ò f (x) dx = f (x)(b - a)
a
Геометрический смысл
SD = S:
Y |
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
D |
|
O |
a |
x |
b |
X |
17.3. Формула Ньютона—Лейбница
b
ò f (x) dx = F (b) - F (a). F ¢(x) = f (x)
a
17.4. Интегрирование заменой переменной и по частям в о.и.
1) Замена переменной:
b |
ìx = j(t) |
ü |
b |
|
= ò f [j(t)]j¢(t) dt |
||
ò f (x) dx = í |
ý |
||
a |
îdx = j¢(t) dt þ |
a |
2) Интегрирование по частям:
bb
òu dv = uv| ab - òv du
aa
17.5. Несобственные интегралы (нс.и.)
17.5.1. Нс.и. с бесконечными пределами интегрирования
¥b
Î: ò f (x) dx = lim |
ò f (x) dx — сходящиеся, |
b®¥ |
a |
a |
если lim $, конечен; расходящиеся, если lim $
&
b |
|
b |
|
|
ò |
f (x) dx = lim ò f (x) dx |
|||
-¥ |
a®-¥ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
¥ |
c |
|
|
¥ |
ò f (x) dx = ò f (x) dx + ò f (x) dx |
||||
-¥ |
-¥ |
|
|
c |
17.5.2. Нс.и. от разрывных функций |
||||
|
b |
|
|
c |
Î: ò f (x) dx = |
lim |
|
ò f (x) dx, |
|
|
a |
c ®b - |
0 |
a |
|
|
|
åñëè f (x) Î C[a,b] и имеет разрыв 2-го рода при х = b
b |
|
b |
ò f (x) dx = lim |
|
ò f (x) dx, |
c ®a + |
0 |
c |
a |
|
åñëè f (x) Î C[a,b] и имеет разрыв 2-го рода при х = a
17.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
17.1.1.Задача о площади криволинейной трапеции
О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей
ìy = f (x), f (x)> 0,
¶D : ïíx = a, x = b (a < b),
ïîy = 0,
где функция f (x) непрерывна (рис.17.1).
Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобъ-
ем отрезок [a, b] точками {x0 = a, x1, ..., xi-1, xi, ..., xn = b} на n элементарных отрезков [xi-1, xi]. Обозначим xi - xi-1 = Dxi, выберем про-
извольные точки xi Î [xi-1, xi] и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами f (xi) и основаниями Dxi. Площадь
n
ступенчатой фигуры Sn = å f (xi )Dxi и дает приближенное значе-
i=1
'
Y
|
x1 |
|
xi |
x0 = a |
x1 |
xi–1 |
xi |
|
|
|
Ðèñ. 17.1 |
y = f (x)
xn = b |
X |
ние площади криволинейной трапеции. За точное значение пло-
|
n |
щади естественно принять SD = lim |
å f (xi )Dxi . |
maxDx ®0 |
i =1 |
i |
|
17.1.2. Задача о работе переменной силы |
|
H |
|
Найдем работу переменной силы F (x) с постоянным направлением, под действием которой материальная точка перемещается из положения х = а в х = b по прямой, направленной вдоль линии действия силы (рис. 17.2).
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = a ... xi - 1 |
|
xi |
... xn = b |
|||
|
|
|
Ðèñ. 17.2 |
|
|
Проведем разбиение, аналогично п. 17.1.1: xi Î [xi-1, xi]. Будем считать, что на Dxi, i = 1,n, величина силы имеет постоянное зна-
чение и равна F(xi), тогда работа силы на [xi-1, xi] равна F(xi)Dxi,
|
|
|
n |
а приближенное значение работы на всем пути A » åF (xi )Dxi |
|||
|
|
|
i=1 |
|
H |
|
n |
(F = |
F |
). За точное значение принимаем A = lim |
åF (xi )Dxi . |
|
|
maxDx ®0 |
i =1 |
|
|
i |
17.1.3. Понятие определенного интеграла
Пусть на [a, b] задана функция y = f (x). Àíалогично пункту 17.1.1 разобъем [a, b] на n частей [xi-1, xi], i = 1,n, выберем произвольные точки xi Î [xi-1, xi] и составим сумму
n |
|
å f (xi )Dxi , |
(17.1) |
i =1
которая называется интегральной суммой.