Q ( x )= |
dM ( x ) |
ì 41 , (0 £ x £1 )ü |
(в) |
||||
= í |
|
(1£ x £ 2 ) |
ý |
||||
dx |
1 , |
||||||
|
î |
þ |
|
Епюри M ( x ) і Q ( x ), що побудовані за виразами (а), (б), (в), показані на рис. 9.10 в, г. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Приклад 9.7. |
|
Для зображеної на рис. 9.11 балки визначити момент M1 |
на проміжній опорі. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q = 20kH м |
|
|
Задача |
|
|
один |
раз |
|
статично |
невизначна. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Защемлення |
|
|
|
на |
|
лівій |
|
|
|
опорі |
|
замінюємо |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
шарнірними опорами, які показані на рис. 9.11 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
основна |
система |
з |
врізаним |
|
шарніром на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
опорі “ 1 “, показана |
на рис. 9.11 в. Рівняння |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трьох моментів для опори “ 1 “: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
l1 |
1 |
|
|
|
б) |
M 0l1 + 2 M1 (l1 + l2 )+ M 2l 2 = -6 E J z (q1' +q1'' ), |
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
M1 |
M |
|
M |
|
|
M |
|
= M |
|
= 0; l |
= 0; q' = |
0, E J q'' = |
ql3 |
20×23 |
|
20 |
. |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
2 |
|
2 |
= |
|
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
1 |
1 |
|
z |
1 |
24 |
|
24 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Тоді рівняння набирає вигляду: |
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l = 0 |
|
l = 2 м |
|
|
4 M1 = - 6 × |
20 |
Þ M1 = -10 кН × м . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 9.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X. Стійкість стиснутих стержнів.
10.1. Форми рівноваги пружного стиснутого стержня.
При стиску довгого тонкого стержня осьовою силою він може вийти з ладу не через те,
що в поперечних |
перерізах |
виникатимуть граничні напруження(границя текучості або |
міцності), а внаслідок |
того, що |
стержень втратить свою початкову прямолінійну форму |
(зігнеться). Для таких стержнів, окрім розрахунку на міцність, потрібно виконувати розрахунок на стійкість. При дії на стержень стискуючої сили можна спостерігати три форми його рівноваги:
F F < F |
F F = Fk |
F F > Fk |
k |
|
|
a) |
б) |
в) |
|
рис.10.1 |
|
Найбільша |
стискуюча |
сила F , до якої |
а) стійка рівновага (рис. 10.1 а) – це така
форма |
рівноваги |
стержня, коли |
при |
|
довільному малому відхиленні його від |
||||
прямолінійної |
початкової |
форми |
||
рівноваги |
внутрішні |
сили |
здатні |
|
повернути його в початкове положення; |
|
|||
б) нестійка форма |
рівноваги(рис.10.1 в) |
–така форма, коли, після малого відхилення стержня з початкового прямолінійного положення, він не тільки не повертається в початкове положення, а отримує додаткове переміщення;
в) байдужа форма рівноваги (рис. 10.1 б)
–така форма рівноваги, коли, після малого відхилення стержня з початкового положення рівноваги, він залишається в цьому новому положенні рівноваги.
стержень зберігає стійку форму рівноваги,
- 81 -
називається критичною силою Fk . Іншими словами, критична сила Fk - це найменша осьова стискуюча сила, при якій початкова прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Навіть тоді, коли стискуючі напруження від сили Fk набагато менші від границі текучостіsт чи границі
міцності |
s мц |
матеріалу стержня, він може виходити з ладу черезвтрату стійкост. Згин |
стержня |
під |
дією стискуючої силиF = Fk , після втрати стійкості, називають повздовжнім |
згином стержня.
10.2. Визначення критичної сили. Критичне напруження.
Нехай на дією цієї сили
x
F = Fk
стержень з шарнірно закріпленими краями діє стискуюча силаF = Fk . Під
стержень зігнеться(рис. 10.2). Згин буде відбуватися в площині найменшої жорсткості, яка суміщена з площиною xO y . Використавши для
визначення прогину y ( x ) диференціальне рівняння зігнутої осі і задовольнивши граничні умови, одержують формулу Ейлера для критичної сили в стержні з шарнірно закріпленими краями:
|
|
|
Fk = |
p2 E J min |
, |
(10.1) |
|
|
|
|
|
l 2 |
|||
|
|
|
J min - мінімальний |
|
|
|
|
l |
|
де |
|
момент інерції |
поперечного перерізу |
||
y (x) |
стержня. |
|
закріплення стержнякритична сила Fk |
||||
|
|
При |
будь-якому способі |
визначається із формули
x |
p2 E J min |
|
(10.2) |
|
Fk = |
|
, |
||
(m l 2) |
||||
y |
|
|
|
де m - коефіцієнт приведеної довжини, що залежить від способу |
рис.10.2 |
закріплення стержня. На рис. 10.3 наведені значення коефіцієнтів m |
|
для деяких способів закріплення стержнів.
l
l 2 |
l 2 |
|
m =1 |
m = 2 |
m = 0,7 |
m = 0,5 |
m =1, 26 |
m = 0, 44 |
|
|
|
|
рис.10.3 |
|
|
|
Якщо стиснутий стержень по-різному |
закріплений в різних площинах(рис. 10.4), |
|||||
коефіцієнти приведеної довжини m відносно осей |
y і z |
є різними. |
|
|||
В цьому випадку критичну силу Fk |
визначають із формули: |
|
- 82 -
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
p2 |
E A |
, |
|
|
|
|
|
(10.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
l2max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де: A - площа поперечного перерізу стержня; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
m l |
|
|
|
- гнучкість стержня; |
|
|
|
|
|
|
|
(10.4) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = |
J |
|
|
|
- радіус інерції поперечного перерізу. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Згин |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відбуватиметься |
|
в |
площині |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стержня |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найбільшої гнучкості. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
mz l |
|
|
|
|
|
|
my l |
ù |
iy |
, iz |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lmax |
= max ê lz = |
|
|
|
|
|
, |
l y = |
|
|
|
|
ú ; де |
- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
|
iy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
радіуси інерції перерізу відносно його головних |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осей |
|
|
y , z . В |
таких |
стержнях |
|
актуальним |
є |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
mz |
=1 |
|
|
my |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
питання раціонального |
розташування перерізу, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
при |
якому виконується |
умова |
lz - ly |
®min . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Після |
|
|
|
використання |
виразу(10.4) ця |
умова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набирає вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
рис.10.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mz |
» |
m y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Критичне напруження в стиснутих гнучких стержнях визначається за формулою |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
p2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sk = |
|
k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.6) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Приклад 10.1. |
|
Для зображеного на |
|
рис. 10.5 |
стиснутого |
|
|
|
сталевого |
|
стержня |
визначити |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
критичну силу і критичне напруження. Модуль E = 2 ×104 |
|
|
кН |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk -? |
|
|
|
|
|
Критична сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk |
= |
|
p2 |
E J min |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m l |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Jmin |
= J z |
= |
b h3 |
= |
20 ×123 |
|
= 2880см4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
l = 3 м |
12см |
|
|
|
m = 2, A |
=12 |
|
× 20 = 240см |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.142 ×2 ×104 |
|
|
кН |
×2880 см4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
20 см |
|
|
Тоді |
|
Fk = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1577 кН . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 ×300 )2 |
|
см2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критичне напруження |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sk = |
Fk |
= |
1577 кН |
=6.57 |
|
|
кН |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
рис.10.5 |
|
|
|
240 см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 10.2. Для зображеного на рис. 10.6 а стиснутого сталевого стержня двотаврового поперечного перерізу № 20, який неоднаково закріплений у площинах xO z і xO y , визначити
критичну силу, раціонально розташувавши переріз. Умова раціонального розташування (10.5) дає
- 83 -
x |
x |
F |
F |
l = 4 м |
|
|
l |
|
a) |
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
my |
=1 |
|
= 0,5 |
||||
(yT ) |
mz |
||||||
|
|
|
z |
|
|
y
б)
(xT )
рис.10.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
z |
|
» |
my |
|
Þ |
0.5 |
|
» |
|
1 |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
iy |
|
iz |
iy |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оскільки 1 > 0.5 , |
то осі y , z |
слід |
розташувати |
|||||||||||||||||||||||||
так, щоб iy |
|
> iz |
(а). Для двотавра № 20 із таблиць |
|||||||||||||||||||||||||
сортаменту знаходимо (рис. 10.6 б) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
A = 26.4 см2 |
, ix |
=8.27 см , |
iy |
= 2.06 см . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||
Для того, щоб виконувалась умова(а), потрібно |
||||||||||||||||||||||||||||
осі |
|
xT |
присвоїти |
|
індекс y , а |
осі yT - |
індекс |
z . |
||||||||||||||||||||
Тоді iy =8.27 > iz = 2.06 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
|
визначення |
критичної |
|
силиF |
слід |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
використати |
|
|
|
|
|
формулу (10.3), |
визначивши |
|||||||||||||||||||||
гнучкості lz , l y |
відносно обидвох осей: |
|
||||||||||||||||||||||||||
lz |
= |
mz l |
= |
0,5 × 400см |
= 97,1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
iz |
|
|
|
|
|
2,06 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ly |
= |
my l |
|
= |
1× 400 см |
= 48, 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
iy |
|
|
8,27 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lmax = lz |
= 97,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Площина |
|
найбільшої |
гнучкості– |
це |
площина |
|||||||||||||||||||||||
x O y |
і |
|
викривлення |
стержня |
відбуватиметься у |
|||||||||||||||||||||||
цій площині. Критична сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F = |
p2 |
E A |
= |
3.142 |
×2 ×10 ×26.4 |
=552 кН . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(97.1 )2 |
|
|
|
||||||||||||||||
k |
|
|
l2max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.3 Діаграма критичних напружень.
З формули для напружень (10.6) видно, що в залежності від гнучкості lmax , критичне напруження sk може бути різним. Якщо гнучкість lmax порівняно невелика, то sk може набувати значень, що перевищують границю пропорційності матеріалу стержняsпц . Оскільки формула Ейлера і формула для визначенняsk одержані при допущенні, що стержень при втраті стійкості деформується пружно і матеріал знаходиться в межах закону Гука (тобто
s £ sпц ), то величина критичних напружень повинна бути обмежена |
|
|||||||
s |
k |
= |
p 2 E |
£ s |
пц |
. |
(10.7) |
|
|
l2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
Звідки |
l ³ |
p 2 E |
. |
(10.8) |
|
||||
|
max |
sпц |
|
|
|
|
|
|
Тобто, нижня границя гнучкості стержня, при якій можна користуватися формулою Ейлера,
становить |
l |
= p |
E |
. Так, |
для сталі Ст. |
3 |
з пружними характеристиками |
s |
|
» 20 |
кН |
, |
||||
|
|
|
||||||||||||||
|
пц |
|
sпц |
|
|
|
|
|
|
пц |
|
|
см2 |
|||
E = 2 ×104 |
кН |
дістаємо l |
»100 . Отже, |
формулою |
Ейлера |
для таких |
сталей |
можна |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
см2 |
|
|
пц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гнучкостях l ³ 100 . Це – |
область |
стержнів |
великої гнучкост.і Область |
|||||||||||
користуватися |
при |
- 84 -
гнучкостей l < lпц можна розділити на: |
|
|
|
|
|
||
а) область малих гнучкостей (для сталі Ст. 3 l £ |
61.4 ), при яких немає небезпеки втрати |
||||||
стійкості і стержні слід перевіряти тільки на міцність. При l £ |
61.4 |
напруження sk =sm , де |
|||||
sm |
- границя текучості матеріалу стержня; |
|
|
|
|
|
|
б) |
область |
середніх гнучкостей(для сталі 61.4 < l < 100 ). |
Визначення |
критичних |
|||
напружень в цій області викликає певні трудн, ощіскільки |
матеріал в |
цьому випадку |
|||||
перебуває в |
пружнопластичному стані( sпц < sk < sm ). Формула |
Ясинського |
для |
визначення |
|||
цих напружень, що одержана як результат обробки експериментальних даних, має вигляд |
|||||||
|
|
sk = a - b l |
, |
|
|
|
(10.9) |
де коефіцієнти a , b , що отримані на основі експериментів, беруться з таблиць. Зокрема, для
сталі Ст. 3 a = 31.0 |
кН |
, b = 0.114 |
кН |
. |
см2 |
|
|||
|
|
см2 |
Для кожного матеріалу при різних значенняхl можна на основі наведених вище співвідношень побудувати графік залежності напруженняsk від гнучкості l . Цей графік
називається діаграмою критичних напружень. Для сталі Ст. 3 ця діаграма показана на рис. 10.7.
|
sk |
=sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sm |
sк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sк = a -blmax |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sпц |
|
|
|
|
|
|
|
p2 E |
|
|||
|
|
|
|
|
|
s |
к |
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
61.4 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.10.7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
10.4. Практичний розрахунок стержнів на стійкість. |
|
||||||||||
Умова стійкості центрально стиснутого стержня має вигляд |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
F |
£ [s ] , |
(10.10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
ст |
|
||
де [s ]ст - допустиме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
напруження |
стійкост.і Це |
напруження виражають через |
допустиме |
напруження на стиск [s ]:
[s ]ст = j [s ], |
(10.11) |
де j - коефіцієнт повздовжнього згину ( 0 £ j £ 1), що залежить від матеріалу та гнучкості l стержня. Ці коефіцієнти визначаються із таблиці, наведеної у додатках.
З врахуванням виразу (10.11) умова стійкості (10.10) набирає вигляду
- 85 -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
£ [s ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.12) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j× A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Виходячи з умови стійкості, можна розв’язувати наступні типи задач: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) перевіряти стійкість заданого стержня (формула (10.12)); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
б) підбирати величину допустимої стискуючої сили за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fдоп = j× A×[s ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.13) |
|
|||||||||||
в) підбирати необхідні розміри поперечних перерізів стиснутих стержнів за формулою |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ³ |
|
|
|
F |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.14) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j×[s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При розв’язуванні задач останнього типу використовуюметодть |
послідовних наближен,ь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
оскільки |
у формулі(10.14) |
є дві невідомі– шукана |
площа поперечного перерізуA , та |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
коефіцієнт |
j . (Коефіцієнт j |
знаходиться із |
таблиць |
в |
|
залежності відl = |
m l |
. Якщо |
розміри |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
поперечного перерізу невідомі, то невідомі і радіуси |
інерції перерізу“ i “, а отже відповідно і |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
гнучкість l та коефіцієнт j ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
З питанням підбору розмірів поперечного перерізу центрально стиснутого стержня тісно |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
пов’язане питання раціональної форми поперечних перерізів. Небезпека втрати стійкості в |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
стиснутих стержнях тим менша, чим менші їх найбільші гнучкості lmax , тобто чим більші при |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
фіксованій величині площі поперечних перерізів A радіуси інерції “ i “ поперечного перерізу. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Матеріал |
в |
таких |
|
|
перерізах |
повинен |
бути |
розміщений |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якомога далі від центра перерізу. Цим вимогам найкраще |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
відповідають |
порожнисті всередині перерізи |
з можливо |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тонкою стінкою. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад |
10.3. |
|
|
|
|
Підібрати |
|
допустиме |
|
стискуюч |
|||||||||||||
l = 5 м |
|
|
|
|
|
z |
|
навантаження Fдоп |
для стержня (рис. 10.8), матеріал якого |
с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
сталь |
|
|
з |
допустимим |
напруженням |
на |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[s ]=16 кН см2 . Переріз стержня – швелер “ № 18. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
|
|
|
|
|
заданого |
|
|
|
швелера |
із |
таблиць |
: |
знах |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 20.5 см2 ; |
iy =imin = 2.04 см . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
m = 0,7 рис.10.8 |
|
|
Величина Fдоп |
визначається із формули (10.13). Для цього |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lmax |
= |
m l |
|
= |
0.7 |
×500 см |
=172 . Із таблиць коефіцієнтів |
j |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
imin |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2.04 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
для сталі при l =172 отримуємо j= 0.25 . Тоді |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= 0.25×20.5 |
см2 ×16 |
кН |
=82 кН . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l =1м |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Приклад 10.4. Підібрати із умови стійкості стержня, що |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зображений |
|
на |
|
|
. рис10.9, |
розміри |
прямокутного |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поперечного перерізу (з відношенням |
сторінh b = 2 ). |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
Матеріал – дерево: [s |
]= 3 кН см2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
m = 2 |
|
|
Розміри поперечного перерізу підбираються з умови (10.14) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
рис.10.9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 86 -
методом послідовних наближень: |
0 +1 |
|
|
I наближення: задаємо початкове значенняjп = |
= 0.5 . З умови (10.14) визначаємо |
||
|
|||
1 |
2 |
|
|
величину площі в першому наближенні |
|
||
|
|
|
A ³ |
|
F |
|
|
|
= |
|
|
|
20 кН |
|
|
=13.3 |
см2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
jn ×[s ] 0.5×3 кН см2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначаємо розміри перерізу b |
, h |
в першому наближенні: |
A =b ×h ³ 13.3 см2 |
, де h b = 2 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||
або h = 2 b . Тобто 2 b2 |
³ 13.3 см2 |
. Звідси b ³ 2.6 см , h = 2 b ³ 5.2 см2 . |
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
Визначаємо мінімальний радіус інерції перерізу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
J y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.62 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
imin =iy = |
= |
|
|
|
h b |
= |
|
=0.75 см . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
A |
|
12 b h |
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Знаходимо максимальну гнучкість |
|
|
m l |
|
|
2 ×100 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
lmax |
= |
= |
= 267 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
imin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Із таблиць коефіцієнтів j для цієї гнучкості (якщо матеріал – дерево) знаходимо кінцеве значення j в першому наближенніj1к »0 . Визначаємо різницю j1к -j1п = 0 - 0.5 = 0.5 .
Оскільки різниця велика (більше 0.1), то без перевірки умови стійкості (10.12) переходимо до II наближення.
|
|
|
|
|
|
|
|
наближенняj2п = |
jп |
+ jк |
|
|
0.5 + 0 |
|
|
||||||||
II |
наближення: |
задаємо |
початкове |
|
1 |
1 |
|
= |
|
|
|
|
=0.25 |
(подальша |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
процедура повторює процедуру I наближення). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Знаходимо A |
³ |
|
F |
= |
|
20 кН |
= 26.7 см2 . 2 b2 |
³ 26.7 см2 |
. Тоді |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
j2n ×[s |
] 0.25×3 кН см2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
³ 3.65 см , |
h |
= 2 b |
³ 7.30 см2 . Радіус |
інерції i |
min |
= |
|
3.652 |
|
|
=1.11 см . |
Гнучкість |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lmax = 2 ×100 см =180 . Із таблиці визначаємо jк2 = 0.10 . Різниця
1.11см
j2п - j2к = 0.25 - 0.1 = 0.15 > 0.1 . Виконуємо наступне наближення.
III наближення: j3п = |
j2п + j2к |
= |
|
0.25 + 0.1 |
=0.175 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
20 кН |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A ³ |
|
|
|
|
|
|
= 38.0 см2 . |
b ³ 4.36 см , |
h |
=8.72 см2 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
0.175×3 кН см2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
imin = |
|
|
4.362 |
|
=1.584 см . lmax |
= |
2 ×100 см |
=126 . j3к = 0.20 . |
|
||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.584 см |
|
|
|
|
|||||||
Різниця |
|
j3п - j3к |
|
= |
|
0.175 - 0.20 |
|
= 0.025 < 0.1. |
|
Обчислення |
припиняємо. Перевіряємо |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
виконання умови стійкості (10.12) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
£ [s ] |
Þ |
|
20 |
£ 3 |
; |
2.61 кН см2 |
< 3 кН см2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
jк × |
A |
|
|
|
0.20 ×38.0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умова стійкості виконується.
Отже, необхідні мінімальні розміри поперечного перерізу стержня: h =8.72 см , b = 4.36 см .
- 87 -
XI. Динамічні задачі.
11.1 Типи динамічних задач. Задачі при постійних прискореннях.
Коли при навантаженні тіл в нихвиникають прискорення і пов’язані з нимисили інерції, то таке навантаження називаютдинамічнимь , а задачі – динамічними задачами. Якщо прискорення будь-якої точки тіла (а отже і сили інерції) відомі, то розв’язування динамічних задач зводиться до розв’язування відповідних статичних задач, коли до заданого зовнішнього навантаження, що діє на тіло, добавити знайдені сили інерції. Якщо навантаження до тіла
прикладається раптово, при якому за короткий проміжок часу виникають дуже великі прискорення, то такі динамічні задачі називаютьзадачами на удар. Якщо прискорення в тілі
періодично змінюються в часі, то задачі, що виникають при цьому – це задачі на коливання.
Найпростіша динамічна задача– це задача про визначення напружень і переміщень в елементах конструкцій, що рухаються з відомим сталим прискоренням.
x
Nд
|
Q |
Q |
|
|
Fін |
|
|
|
a) |
б) |
|
|
|
рис.11.1 |
Приклад 11.1 Визначити напруження в канаті підйомного механізму (рис. 11.1 а), що підіймає вантаж Q з прискоренням
a . |
Площа поперечного |
перерізу |
канатаA . Вагою каната |
|
|||
знехтувати. |
|
|
|
|
|
|
|
При |
прискореному |
підніманні |
вантажу |
вверх |
виник |
||
направлена вниз сила інерції |
|
|
|
||||
|
F |
= m a = |
Q |
×a , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ін |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де g - прискорення сили земного тяжіння.
Рівняння статики (рис. 11.1б) при врахуванні сили інерції Fін , має вигляд:
å X =0 Þ N д -Q - Fін = 0 .
|
|
Q |
æ |
|
a ö |
|
Звідси N д = Q + Fін |
= Q + |
|
a = Q ç1 |
+ |
|
÷ . |
g |
|
|||||
|
|
è |
|
g ø |
Динамічне напруження в канаті
|
|
|
|
|
|
|
N |
д |
|
Q æ |
|
a ö |
, або |
sд = sс ×kд . |
(11.1) |
||
|
|
|
|
|
|
s д = |
|
= |
|
ç1 |
+ |
|
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Q |
|
|
|
A |
A è |
|
g ø |
|
|
|
||||
де |
sс |
= |
|
- статичне напруження в канаті; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
kд |
=1+ |
a |
- динамічний коефіцієнт. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.2. Динамічні задачі на удар.
Задачі на удар, згідно з технічною теорією удару, розв’язуються при наступних допущеннях:
1)удар вважається непружним;
2)деформації і напруження при ударі зв’язані між собою законом Гука;
3) при ударі немає втрат енергії, тобто сума кінетичної і потенціальної енергії залишається сталою.
- 88 -
Залежно від напрямку прикладання ударного навантаження до стержня розрізняють(рис. 11.2
а, б, в) повздовжній, поперечний і крутильний удар.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
Повздовжній |
удар |
може |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бути |
|
|
розтягуючим |
|
або |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
стискуючим. При повздовжньому |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
ударі (рис. 11.2 а) динамічне |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напруження |
|
|
|
|
і |
|
видовження |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P =m g |
|
|
|
|
|
Dд |
|
|
|
(вкорочення) стержня рівні |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sд = sс × kд , Dlд |
= Dlс × kд , |
(11.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
де |
sc |
= |
|
P |
|
- |
статичне |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напруження |
|
|
в |
стержні |
від |
|
сили |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
jд |
P ; |
|
|
P |
l |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Dlд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D lc |
= |
|
- |
статичне |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dд |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
A |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.11.2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
видовження |
|
|
|
|
(вкорочення) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стержня від сили P ; |
|
|
|
|
|||||||||
kд =1 + 1 + |
2 h |
|
|
|
(11.3) |
- динамічний коефіцієнт при поздовжньому |
ударі; |
h |
- |
|||||||||||||||||||||||||||
D lc |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
висота падіння вантажу F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
При поперечному ударі (рис. 11.2 б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M max |
|
|
|
max sд = max sс ×kд , |
Dд = Dс ×kд |
, |
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
||||||||||||||||
де maxs |
c |
= |
- |
найбільше |
статичне напруження |
від |
заданого |
навантаження; D |
- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динамічний, Dс - статичний прогини балки в місці удару.
Динамічний коефіцієнт |
|
kд =1+ |
1+ |
2 h |
. |
|
|
(11.5) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dc |
|
|
|
||
При крутильному ударі (рис. 11.2 в) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
M k |
|
|
|
max tд = max tс ×kд |
, |
Dд = Dс ×kд |
, jд =jс ×kд , |
(11.6) |
||||
де max tc |
= |
- статичне напруження при крученні; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Wr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F =1kH |
|
|
Dд , jд |
- динамічне лінійне і кутове переміщення; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Dс , jс |
- статичне лінійне і кутове переміщення |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
h = 5см |
|
a) |
при крученні. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Динамічний коефіцієнт kд знаходимо за формулою |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1м |
|
|
(11.5). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 м |
|
|
Приклад 11.2. На середину двотаврової балки (рис. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.3 |
а) |
довжиною |
l = 2 м з висоти h =5 см падає |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x) б) |
вантаж |
F =1 кН . Визначити найбільше |
нормальне |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напруження в балці і прогин посередині довжини. |
||||||
|
|
|
Mmax =0,5kH × м |
|
|
Переріз |
балки – двотавр № 18, модуль |
пружності |
|||||||
|
|
|
|
|
E = 2 ×104 кН см2 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Епюра згинального моменту M ( x ) від статичного |
рис.11.3
- 89 -
навантаження |
|
F =1 кН |
|
|
показана |
на |
рис. |
11.3б. |
|
Для |
двотавра |
№ |
18 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Wz =148 см3 |
, |
|
J z =1330 см4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Максимальне статичне напруження |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max sд |
= |
M max |
= |
0.5×100 кН ×см |
= 0.338 кН см2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148 см3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Статичний прогин для заданої балки, що визначається за формулою (формулу можна отримати |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
способом Верещагіна): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Dс = |
|
F l 3 |
|
, |
дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
48 E J z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dc = |
|
1×2003 кН ×см3 |
|
|
= 0.00626 см . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
48×2 ×104 |
|
кН |
×1330 см4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Динамічний коефіцієнт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kд =1+ 1+ |
|
2 h |
|
1+ |
2 ×5 |
|
=1+ 40 = 41 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dc |
|
|
|
|
0.00626 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отже max sд = max sс ×kд = 0.338 |
кН |
|
×41 =13.86 |
|
кН |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
см2 |
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Dд = Dс ×kд = 0.00626 см ×41= 0.26 см . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11.3. Поведінка матеріалів при ударі. Ударна в’язкість. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вплив ударних навантажень на міцність елементів |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конструкцій |
позначається |
не |
лише |
на |
збільшенн |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
напружень |
|
і деформацій, але й у тому, що матеріал |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементу |
|
конструкції |
інакше |
|
реагує |
на |
уд |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
навантаження, |
ніж |
|
|
на |
|
статичні. Відбувається |
значне |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зменшення |
|
пластичності матеріалу |
з |
одночасним |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
збільшенням |
|
значень |
|
механічних |
|
характерист |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
міцності. Зменшення пластичності призволить до того, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що |
матеріал, |
який |
при |
статичних |
|
випробуваннях |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
рис. 11.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
руйнується із значними пластичними деформаціями, при |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ударі руйнується, як крихкий. Для виявлення схильності |
|
|||||||||||||||||||||
матеріалу до крихкого руйнування при ударі, проводять випробування на удар на стандартних |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зразках (рис. 11.4), визначаючи ударну в’язкість матеріалу aн , що характеризує пластичність |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матеріалу при ударних випробуваннях |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aн = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.7) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де: W - робота, затрачена на руйнування зразка, при ударному згині; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
A - площа поперечного перерізу зразка в ослабленому місці (в місці надрізу). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
На величину ударної в’язкості впливають різні фактори. Серед них, в першу чергу, слід |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
відзначити |
вплив температури |
|
|
|
зразка. При |
|
пониженні |
|
температури |
ударна |
в’язкість |
зменшується. Значення температури, при якій відбувається різке зменшення ударної в’язкості, називається критичною температурою крихкост.і Елементи конструкцій, що працюють при ударі, доцільно експлуатувати при температурах, що перевищують критичну температуру крихкості.
- 90 -
11.4. Динамічні задачі на коливання.
В опорі матеріалів розглядаються тільки ті питання теорії механічних коливань, які пов’язані із розрахунком на міцність і жорсткість елементів пружних систем, що коливаються.
Пружні системи, що коливаються, поділяються за числом ступенів вільності. Число
ступенів |
вільності – це кількість незалежних координат, які визначають положення |
мас |
системи |
в будь-який момент часу. Якщо у вибраній для досліджень розрахунковій |
схемі |
системи цікавляться лише положенням зосереджених мас, прикладених до системи, то число ступенів вільності системи визначається кількістю координат центрів мас системи. Наприклад,
система “пружина – вантаж” (рис. |
11.5) може розглядатися як система з одним ступенем |
|||||||||||||||||||
вільності, коли знехтувати масою пружини в порівнянні з масою вантажуm і цікавитись |
||||||||||||||||||||
тільки положенням |
вантажу |
в |
будь-який |
момент, щочасу визначатиметься |
однією |
|||||||||||||||
координатою x . Нижче розглядатимуться тільки системи з одним ступенем вільності. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Залежно від характеру сил, що підтримують коливання, вони |
||||||||||||||||
|
|
|
поділяються на власні і вимушені коливання. Власні – це коливання |
|||||||||||||||||
|
|
|
під дією внутрішніх сил пружності. Вони є затухаючими. Вимушені |
|||||||||||||||||
|
|
|
коливання |
– |
це |
коливання |
під дією |
зовнішніх |
періодичних |
|||||||||||
|
|
|
збурюючих сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Залежно від напрямку коливань розрізняютьпоздовжні, |
||||||||||||||||
|
|
|
поперечні і крутильні коливання. Найпростіший вид коливань – це |
|||||||||||||||||
|
|
|
гармонічні коливання. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Кількість власних коливань системи за 2часp секунд |
||||||||||||||||
|
|
|
називається круговою частотою власних коливаньw0 . У випадку |
|||||||||||||||||
|
|
|
повздовжніх або поперечних коливань кругова частота власних |
|||||||||||||||||
|
|
|
коливань |
системи |
з |
одним |
ступенем вільності визначається за |
|||||||||||||
|
|
x |
формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
w0 = |
c |
= |
|
g |
|
, |
|
|
|
(11.8) |
|||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
де c = |
- |
жорсткість системи, |
що коливається; |
Q - навантаження; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
рис. 11.5 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
||
|
D - статична деформація; |
g - прискорення сили тяжіння; m = |
- |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
g
маса вантажу.
При дії на систему збурюючої періодичної силиS (t )= H sin wt , де H - найбільше значення збурюючої сили, w - кругова частота вимушених коливань, найбільше відхилення системи від положення рівноваги(амплітуда вимушених коливаньA ) визначається за формулою
|
|
|
A = |
Q |
1 |
|
|
|
|
Q |
|
|
||||
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
= |
|
×b , |
|
(11.9) |
|||
|
|
|
c |
1- (w w |
0 |
)2 |
c |
|
||||||||
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
- статична деформація від сили H . Коефіцієнт b , що визначається за формулою |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.10) |
|||
|
|
|
1- (w w )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
називають коефіцієнтом зростання коливань. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
У випадку, коли |
частота власних коливаньw0 збігається |
з |
частотою збурюючої сили |
|||||||||||
w ( w w0 =1 ), наступає |
резонанс, при |
|
якому |
|
коефіцієнтb |
і |
амплітудаA необмежено |
- 91 -
зростають (b ® ¥ , A ® ¥ ). |
|
В реальних конструкціях, де мають місце сили |
опору |
|||
коливанням, коефіцієнт зростання коливань визначається за формулою |
|
|||||
b = |
|
1 |
|
, |
(11.11) |
|
|
|
|
|
|||
|
[1- ( w w0 )2 ]2 + g2 ( w w0 )2 |
|||||
де g - питомий коефіцієнт |
сил опору. В таких конструкціях при резонансі(коли |
w= w0 ) |
коефіцієнт b і амплітуда коливань A досягають великих значень, проте вони не дорівнюють безмежності.
Коли до пружної системи, що коливається, одночасно прикладена постійна силаQ і збурююча сила з найбільшим значеннямH , то найбільше динамічне переміщенняDд визначається за формулою
|
|
|
|
|
|
|
Q æ |
|
|
H |
|
ö |
|
×kд , |
(11.12) |
||
|
|
|
|
|
Dд = |
|
ç1+ |
|
|
b ÷ |
= Dc |
||||||
|
|
|
|
|
|
Q |
|||||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
c è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|||
де Dc |
= |
- статичне переміщення від сили Q ; |
|
kд |
|
- динамічний коефіцієнт при коливаннях, |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
який дорівнює |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
kд =1+ |
×b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальні динамічні напруження при коливаннях |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
max s |
д |
= max s |
с |
×k |
д |
ü |
, |
|
|
(11.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
|
||||||
|
|
|
max tд = max tс ×kд |
þ |
|
|
|
|
де maxsс , maxtс - максимальні статичні напруження в системі від заданого навантаження Q .
3
1
Тоді
Q = 3kH |
Приклад 11.3. На вільному кінці консолі довжиною |
|||||||
a) |
l =1 м (рис. |
11.6 |
а) встановлений |
двигун |
вагою |
|||
Q = 3 кН , який |
робить n =1000 об хв . |
Внаслідок |
||||||
l =1м |
||||||||
невідцентрованого ротора двигуна виникає збурююча |
||||||||
|
сила, найбільше значення |
якої H =1 кН . Визначити |
||||||
M(x) б) |
найбільше |
нормальне |
напруження |
в |
консолі |
|||
|
найбільший |
прогин, якщо |
матеріал |
балки– |
сталь |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
[E = 2 ×104 |
|
кН см2 ]. |
Поперечний переріз |
балки– |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямокутник зі сторонами b =10 см , |
h =12 см . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частоту |
власних |
коливаньw0 |
консолі |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначають за формулою (11.8). Статичний прогин в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
M1 |
в) |
|
|
|
місці |
прикладання |
|
силиQ , |
що |
визначається |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
способом |
|
Верещагіна (див. |
п. |
9.1) |
шляхом |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
рис.11.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемноження епюр M ( x ) (рис. 11.6 б) і M1 (рис. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.6 в), дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D = |
1 |
æ 1 |
×3×1× |
2 |
×1 |
ö |
= |
|
|
|
1×106 кН ×см3 ×12 |
|
= 0.0347 |
см . |
|
||||||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
3 |
2 ×107 кН см2 ×10 ×123 см4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
E J z è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
= |
|
|
g |
= |
|
|
980 |
=168 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0347 |
|
|
сек |
|
|
|
|
|
- 92 -
Частота збурюючої сили w= |
p n |
= |
3.14 ×1000 |
=104.7 |
|
1 |
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
сек |
|
|||||||||||
Коефіцієнт зростання коливань (формула (11.10) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||
b = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
=1.63 . |
||||||||||
1- (w w0 )2 |
|
1- (104.7 168 )2 |
0.612 |
||||||||||||||||||||
Динамічний коефіцієнт (формула (11.13)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
kд =1+ |
H |
×b =1 + |
1 |
×1.63 =1.54 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Максимальне статичне напруження в балці від сили Q |
|
||||||||||||||||||||||
max sс = |
M max |
= |
3×102 кН ×см ×6 |
=1.25 кН см2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Wz |
|
|
|
|
|
|
10×122 см3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Найбільше динамічне напруження при коливаннях |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
max sд = max sс ×kд =1.25 кН см2 |
×1.54 =1.93 кН см2 . |
||||||||||||||||||||||
Найбільший динамічний прогин (в точці A консолі) |
|
|
|
|
|
|
max Dд = max D×kд = 0.0347 ×1.54 =0.053 см .
XII. Розрахунок на міцність при повторно-змінних напруженнях.
12.1. Руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях.
s
T
рис.12.1
Б
A
рис.12.2
|
В деяких машинах чи спорудах під дією |
||||||
|
прикладених змінних сил напруження не є |
||||||
|
постійними, |
а періодично |
змінюються |
в часі |
|||
|
(напруження в поперечних перерізах вагонних |
||||||
|
осей, напруження в кривошипах, шатунах, валах |
||||||
|
двигунів і т. д.). Змінність напруження в часі |
||||||
t |
задається кривою в координатах“напруження – |
||||||
час” (рис. 12.1). |
|
|
|
|
|||
|
Час T , |
|
протягом |
якого |
напруження |
||
|
повторює |
своє |
найбільше |
або |
найменше |
||
|
значення, називають періодом. Послідовність |
||||||
|
значень напружень протягом одного періоду |
||||||
|
називають |
|
циклом |
|
напружень. |
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напруженнях, що циклічно змінюються в часі, виникає процес руйнування, який називається
втомним руйнуванням. Процес (хід) втомного руйнування:
спочатку утворюються мікротріщини, які за певних умов, з часом, перетворюються в макротріщину. Остання поступово збільшується і після того, як вона досягає певної значної величини, відбувається раптове крихке руйнування. Поверхня зруйнованої деталі (рис. 12.2) має дві зони: зону А утворення і
розвитку |
тріщини (вона |
має |
вигляд |
уступів |
з |
гладкими |
|
поверхнями) і |
зону , Бпо |
якій |
проходить раптове |
крихке |
|||
руйнування (вона має шороховатий, кристалічний вигляд). |
|
||||||
Швидкість процесу втомного руйнування залежить відтипу |
|||||||
циклів |
напружен,ь при якому |
працює |
деталь |
і механічних |
|||
властивостей |
матеріалу |
деталі. Будь-який |
цикл |
напружень |
- 93 -
повністю задається, якщо відомі характеристики циклу. Такими характеристиками є (рис. 12.3 в):
а) напруження smax і smin (або sср і sа ), що зв’язані між собою відношеннями
smax = sср + sа ü smin = sср - sа ýþ
б) коефіцієнт асиметрії циклу r
r = smin smax
s
|
|
sa |
|
smax |
smin |
s |
ср |
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
s
smax
t
(r = -1)
smin = -smax
s
smax |
t (r = 0) |
|
smin = 0
(12.1)
(12.2)
рис.12.3
Цикл називається симетричним, якщо (рис. 12.3 а) smin = - smax ( r = -1 ).
Для пульсаційного циклу (рис. 12.3 б) smin =0 , ( r = 0 ).
12.2. Границя витривалості і вплив на неї різних факторів.
Границя витривалості sr - найбільша величина змінного напруження, що не призводить до втомного руйнування тіла при як завгодно великій кількості циклів. Визначають границю витривалості експериментальним шляхом на спеціальних машинах, що створюють в зразках
змінні напруження певного циклу. Найбільш поширеним є випробування на згин при симетричному циклі напружень (при r = -1). Тоді границя витривалості позначається s-1 . Для
визначення цієї величини для заданого матеріалу з нього виготовляють партію8 – у10 однакових зразків з полірованою поверхнею і будують, при їх послідовному випробуванні на
- 94 -
циклічний згин, криву витривалості. Перший зразок піддають дії великого навантаження (при якому в перерізі виникає велике максимальне напруженняs1 ). Цей зразок зруйнується при невеликій кількості циклів N1 (рис. 12.4). На перетині значень s1 і N1 дістають точку“1” кривої. Для наступних зразків навантаження, а отже і напруження, поступово зменшують і при цьому зростатиме кількість циклів N2 , N3 , ... , при якій проходитиме руйнування. Дістають
точки 2, 3, 4,... кривої витривалості. З’єднуючи отримані експериментально точки1, 2, 3, 4,...
лінією, отримують криву витривалості. Для сталей і чавунів (рис. 12.4) ця крива асимптотично наближається до горизонтальної прямої smax = s-1 .
smax |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
чорних |
|
і |
кольорових |
||||
|
|
|
|
|
|
металів |
крива |
|
витривалості |
із |
||||||||
s1 |
1 |
|
|
|
|
збільшенням |
|
N , |
|
|
поступово |
|
||||||
|
|
|
|
наближається до осі N . Для таких |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
металів |
|
|
визначають умовну |
|
||||||||
s2 |
|
|
|
|
границю |
витривалост,і |
під |
якою |
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
розуміють |
найбільше |
напруження, |
без |
|||||||||
|
|
|
4 |
крива витривалості |
|
що |
їх |
витримують |
зразки |
|||||||||
|
|
|
|
руйнування при заданому базовому |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
числі |
|
циклів N . |
|
Границі |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
витривалості |
|
|
матеріалів sr |
|
|||||||
sr =s-1 |
|
|
|
|
N |
|
залежать |
|
в |
значній |
мірі |
від |
||||||
|
|
|
|
|
коефіцієнта |
асиметрії |
циклівr . |
|
||||||||||
|
|
N1 N2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
N ® ¥ |
|
Найнижчі |
|
границі |
|
|
витривалості |
||||||||
|
|
|
рис.12.4 |
|
|
|
при симетричних циклах. Границя |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
витривалості |
при |
згині s-зг1 |
вища |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
від границі витривалості при розтягу s-р1 і від границі витривалості при крученні t-к |
1 . |
|
|
|||||||||||||||
|
На величину границі витривалості впливнизкаає |
факторів. Основними з них : є |
|
|||||||||||||||
наявність у деталі концентратора напружень(різких змін розмірів і форми, наявність отворів, |
|
|||||||||||||||||
виточок і т.д.), стан обробки поверхні деталі, розміри поперечного перерізу. Всі вищеназвані |
|
|||||||||||||||||
фактори понижують |
границю |
витривалості в |
порівнянні |
з |
|
границею |
витривалості |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
стандартного зразка, яким є зразок з полірованою поверхнею і постійним діаметромd =10 мм |
|
|||||||||||||||||
без |
концентраторів |
напружень. Вплив перерахованих |
|
факторів |
|
на |
|
величину границі |
витривалості враховується за допомогою коефіцієнтів, які для різних матеріалів і типів деформацій беруться з експериментально отриманих графіків. Такими коефіцієнтами є:
а) ефективний коефіцієнт концентрації напружень ks ( kt )
ks |
= |
s-1 |
, kt |
= |
t-1 |
, ( ks , kt > 1 ) , |
s-1к |
|
|||||
|
|
|
|
t-1к |
де: s-1 , (t-1 ) - границя витривалості зразка без концентратора, s-1к , (t-1к ) - границя витривалості зразка з концентратором;
б) коефіцієнт bn , що враховує стан обробки поверхні зразка
|
|
|
s |
-1n |
æ |
|
|
t |
-1n |
ö |
|
(b |
|
< 1 ) , |
b |
n |
= |
|
ç b |
n |
= |
|
÷ |
, |
n |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
s-1 |
ç |
|
t-1 |
÷ |
|
|
|
|||||
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
де: s-1n , (t-1n ) - границя витривалості зразка з певною обробкою поверхні, s-1 , (t-1 ) - границя витривалості стандартного (полірованого) зразка;
в) масштабний коефіцієнт eм , що враховує вплив на границю
(12.3)
(12.4)
витривалості розмірів
- 95 -
(діаметру) зразка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
-1d |
æ |
|
|
|
t |
-1d |
ö |
, (e |
|
< 1 ) , |
|
e |
м |
= |
|
ç |
e |
м |
= |
|
÷ |
м |
(12.5) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
s-1 |
ç |
|
|
t-1 |
÷ |
|
|
|
|||||
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
де: s-1d - границя витривалості деталі з довільним діаметром d ,
s-1 - границя витривалості стандартного (діаметром d =10 мм ) зразка.
12.3. Розрахунки на міцність.
Найбільш поширеним розрахунком є перевірочний розрахунок на втомну міцність наявної деталі (зразка), коли визначається коефіцієнт запасу втомної міцності nв .
Цей коефіцієнт знаходиться з виразів:
а) для стандартного зразка, який працює при осесиметричному циклі |
|
|||||||||
|
nвs = |
s-1 |
|
, nвt |
= |
t-1 |
, |
|
(12.6) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sа |
|
|
tа |
|
||||
де sa ( ta ) - амплітудне (найбільше) значення напруження; |
|
|||||||||
б) для деталі, що працює при симетричному циклі |
|
|
|
|
|
|
||||
nвs = |
s-1 ×bn ×eм |
, nвt |
= |
t-1 ×bn ×eм |
, |
(12.7) |
||||
|
|
|||||||||
|
sа ×ks |
|
|
tа ×kt |
|
де bn , eм , ks - коефіцієнти, що враховують вплив вищеназваних факторів на величину
границі витривалості; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) для деталі, що працює при довільному асиметричному циклі |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
nвs = |
|
|
|
|
s |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
, nвt = |
|
|
|
|
t |
- 1 |
|
|
|
|
|
, |
(12.8) |
|
|
|
× |
s |
- 1 |
|
+ |
s |
|
×k |
|
|
|
|
× |
t |
- 1 |
+ |
t |
|
×k |
|
||||||
s |
ср |
|
а |
s |
|
t |
ср |
а |
t |
|
|
|
|||||||||||||||
s |
|
|
|
b |
|
×e |
|
|
|
|
b |
|
×e |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
т.о. |
|
|
|
n |
м |
|
|
|
t |
т.о. |
|
n |
м |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де: sср (tср ) - середнє напруження заданого циклу;
s т.о. (t т.о. ) - границя тимчасового опору матеріалу деталі.
Якщо деталь працює при сумісному згині і крученні, то загальний коефіцієнт запасу по відношенню до втомного руйнування визначається за формулою
nвs = |
|
nвs |
×nвt |
|
, |
(12.9) |
|
|
|
|
|
||||
nв2s + nв2t |
|||||||
|
|
|
|
|
де коефіцієнти nвs , nвt визначаються в залежності від виду і умов роботи деталі, за однією з формул (12.6) – (12.8).
- 96 -
ДОДАТКИ
ДОДАТОК 1.
y
Сортамент прокатної сталі.
|
t |
|
|
|
|
|
|
Балки двотаврові (ГОСТ 8239-72) |
|
|
||||||||
h |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Розміри, |
мм |
|
Площа |
Моменти |
Моменти |
Радіуси |
Smax , |
Маса |
||||||||
Номер |
|
|
п/п |
інерції, |
см4 |
опору, |
см3 |
інерції, |
см |
1 м , |
||||||||
профілю |
|
|
|
|
|
|
A , см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см3 |
кг |
h |
b |
|
|
d |
t |
Ix |
|
I y |
Wx |
|
Wy |
ix |
|
iy |
||||
10 |
100 |
55 |
|
|
4,5 |
7,2 |
12,0 |
198 |
|
17,9 |
39,7 |
|
6,49 |
4,06 |
|
1,22 |
23,0 |
9,46 |
12 |
120 |
64 |
|
|
4,8 |
7,3 |
14,7 |
350 |
|
27,9 |
58,4 |
|
8,72 |
4,88 |
|
1,38 |
33,7 |
11,5 |
14 |
140 |
73 |
|
|
4,9 |
7,5 |
17,4 |
572 |
|
41,9 |
81,7 |
|
11,5 |
5,73 |
|
1,55 |
46,8 |
13,7 |
16 |
160 |
81 |
|
|
5,0 |
7,8 |
20,2 |
873 |
|
58,6 |
109 |
|
14,5 |
6,57 |
|
1,70 |
62,3 |
15,9 |
18 |
180 |
90 |
|
|
5,1 |
8,1 |
23,4 |
1 290 |
|
82,6 |
143 |
|
18,4 |
7,42 |
|
1,88 |
81,4 |
18,4 |
18а |
180 |
100 |
|
|
5,1 |
8,3 |
25,4 |
1 430 |
|
114 |
159 |
|
22,8 |
7,51 |
|
2,12 |
89,8 |
19,9 |
20 |
200 |
100 |
|
|
5,2 |
8,4 |
26,8 |
1 840 |
|
115 |
184 |
|
23,1 |
8,28 |
|
2,07 |
104 |
21,0 |
20а |
200 |
110 |
|
|
5,2 |
8,6 |
28,9 |
2 030 |
|
155 |
203 |
|
28,2 |
8,37 |
|
2,32 |
114 |
22,7 |
22 |
220 |
110 |
|
|
5,4 |
8,7 |
30,6 |
2 550 |
|
157 |
232 |
|
28,6 |
9,13 |
|
2,27 |
131 |
24,0 |
22а |
220 |
120 |
|
|
5,4 |
8,9 |
32,8 |
2 790 |
|
206 |
254 |
|
34,3 |
9,22 |
|
2,50 |
143 |
25,8 |
24 |
240 |
115 |
|
|
5,6 |
9,5 |
34,8 |
3 460 |
|
198 |
289 |
|
34,5 |
9,97 |
|
2,37 |
163 |
27,3 |
24а |
240 |
125 |
|
|
5,6 |
9,8 |
37,5 |
3 800 |
|
260 |
317 |
|
41,6 |
10,1 |
|
2,63 |
178 |
29,4 |
27 |
270 |
125 |
|
|
6,0 |
9,8 |
40,2 |
5 010 |
|
260 |
371 |
|
41,5 |
11,2 |
|
2,54 |
210 |
31,5 |
27а |
270 |
135 |
|
|
6,0 |
10,2 |
43,2 |
5 500 |
|
337 |
407 |
|
50,0 |
11,3 |
|
2,80 |
229 |
33,9 |
30 |
300 |
135 |
|
|
6,5 |
10,2 |
46,5 |
7 080 |
|
337 |
472 |
|
49,9 |
12,3 |
|
2,69 |
268 |
36,5 |
30а |
300 |
145 |
|
|
6,5 |
10,7 |
49,9 |
7 780 |
|
436 |
518 |
|
60,1 |
12,5 |
|
2,95 |
292 |
39,2 |
33 |
330 |
140 |
|
|
7,0 |
11,2 |
53,8 |
9 840 |
|
419 |
597 |
|
59,9 |
13,5 |
|
2,79 |
339 |
42,2 |
36 |
360 |
145 |
|
|
7,5 |
12,3 |
61,9 |
13 380 |
|
516 |
743 |
|
71,1 |
14,7 |
|
2,89 |
423 |
48,6 |
40 |
400 |
155 |
|
|
8,3 |
13,0 |
72,6 |
19 062 |
|
667 |
953 |
|
86,1 |
16,2 |
|
3,03 |
545 |
57,0 |
45 |
450 |
160 |
|
|
9 |
14,2 |
84,7 |
27 696 |
|
808 |
1 231 |
|
101 |
18,1 |
|
3,09 |
708 |
66,5 |
50 |
500 |
170 |
|
|
10 |
15,2 |
100 |
39 727 |
|
1 043 |
1 589 |
|
123 |
19,9 |
|
3,23 |
919 |
78,5 |
55 |
550 |
180 |
|
|
11 |
16,5 |
118 |
55 962 |
|
1 356 |
2 035 |
|
151 |
21,8 |
|
3,39 |
1 181 |
92,6 |
60 |
600 |
190 |
|
|
12 |
17,8 |
138 |
76 806 |
|
1 725 |
2 560 |
|
182 |
23,6 |
|
3,54 |
1 491 |
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 97 -
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
Сортамент прокатної сталі. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Швелери (ГОСТ 8240-72) |
|
|
|
|
|||||
h |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Розміри, |
мм |
|
Площа |
Моменти |
Моменти |
Радіуси |
Smax |
z0 |
Маса |
|||||||
Номер |
|
|
|
п/п |
інерції, |
см4 |
опору, |
см3 |
інерції, |
см |
1 м , |
||||||||
профілю |
|
|
|
|
|
|
A , см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см3 |
см |
кг |
h |
|
b |
|
d |
t |
Ix |
|
I y |
Wx |
|
Wy |
ix |
|
iy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
50 |
|
32 |
|
4,4 |
7,0 |
6,16 |
22,8 |
|
5,61 |
9,1 |
|
2,75 |
1,92 |
|
0,954 |
5,59 |
1,16 |
4,84 |
6,5 |
65 |
|
36 |
|
4,4 |
7,2 |
7,51 |
48,6 |
|
8,7 |
15,0 |
|
3,68 |
2,54 |
|
1,08 |
9,0 |
1,24 |
5,90 |
8 |
80 |
|
40 |
|
4,5 |
7,4 |
8,98 |
89,4 |
|
12,8 |
22,4 |
|
4,75 |
3,16 |
|
1,19 |
13,3 |
1,31 |
7,05 |
10 |
100 |
|
46 |
|
4,5 |
7,6 |
10,9 |
174 |
|
20,4 |
34,8 |
|
6,46 |
3,99 |
|
1,37 |
20,4 |
1,44 |
8,59 |
12 |
120 |
|
52 |
|
4,8 |
7,8 |
13,3 |
304 |
|
31,2 |
50,6 |
|
8,52 |
4,78 |
|
1,53 |
29,6 |
1,54 |
10,4 |
14 |
140 |
|
58 |
|
4,9 |
8,1 |
15,6 |
491 |
|
45,4 |
70,2 |
|
11,0 |
5,60 |
|
1,70 |
40,8 |
1,67 |
12,3 |
14a |
140 |
|
62 |
|
4,9 |
8,7 |
17,0 |
545 |
|
57,5 |
77,8 |
|
13,3 |
5,66 |
|
1,84 |
45,1 |
1,87 |
13,3 |
16 |
160 |
|
64 |
|
5,0 |
8,4 |
18,1 |
747 |
|
63,6 |
93,4 |
|
13,8 |
6,42 |
|
1,87 |
54,1 |
1,80 |
14,2 |
16a |
160 |
|
68 |
|
5,0 |
9,0 |
19,5 |
823 |
|
78,8 |
103 |
|
16,4 |
6,49 |
|
2,01 |
59,4 |
2,00 |
15,3 |
18 |
180 |
|
70 |
|
5,1 |
8,7 |
20,7 |
1 090 |
|
86 |
121 |
|
17,0 |
7,24 |
|
2,04 |
69,8 |
1,94 |
16,3 |
18a |
180 |
|
74 |
|
5,1 |
9,3 |
22,2 |
1 190 |
|
105 |
132 |
|
20,0 |
7,32 |
|
2,18 |
76,1 |
2,13 |
17,4 |
20 |
200 |
|
76 |
|
5,2 |
9,0 |
23,4 |
1 520 |
|
113 |
152 |
|
20,5 |
8,07 |
|
2,20 |
87,8 |
2,07 |
18,4 |
20a |
200 |
|
80 |
|
5,2 |
9,7 |
25,2 |
1 670 |
|
139 |
167 |
|
24,2 |
8,15 |
|
2,35 |
95,9 |
2,28 |
19,8 |
22 |
220 |
|
82 |
|
5,4 |
9,5 |
26,7 |
1 110 |
|
151 |
192 |
|
25,1 |
8,89 |
|
2,37 |
110 |
2,21 |
21,0 |
22a |
220 |
|
87 |
|
5,4 |
10,2 |
28,8 |
2 330 |
|
187 |
212 |
|
30,0 |
8,99 |
|
2,55 |
121 |
2,46 |
22,6 |
24 |
240 |
|
90 |
|
5,6 |
10,0 |
30,6 |
2 900 |
|
208 |
242 |
|
31,6 |
9,73 |
|
2,60 |
139 |
2,42 |
24,0 |
24a |
240 |
|
95 |
|
5,6 |
10,7 |
32,9 |
3 180 |
|
254 |
265 |
|
37,2 |
9,84 |
|
2,78 |
151 |
2,67 |
25,8 |
27 |
270 |
|
95 |
|
6,0 |
10,5 |
35,2 |
4 160 |
|
262 |
308 |
|
37,3 |
10,9 |
|
2,73 |
178 |
2,47 |
27,7 |
30 |
300 |
|
100 |
|
6,5 |
11,0 |
40,5 |
5 810 |
|
327 |
387 |
|
43,6 |
12,0 |
|
2,84 |
224 |
2,52 |
31,8 |
33 |
330 |
|
105 |
|
7,0 |
11,7 |
46,5 |
7 980 |
|
410 |
484 |
|
51,8 |
13,1 |
|
2,97 |
281 |
2,59 |
36,5 |
36 |
360 |
|
110 |
|
7,5 |
12,6 |
53,4 |
10 820 |
|
513 |
601 |
|
61,7 |
14,2 |
|
3,10 |
350 |
2,68 |
41,9 |
40 |
400 |
|
115 |
|
8,0 |
13,5 |
61,5 |
15 220 |
|
642 |
761 |
|
73,4 |
15,7 |
|
3,23 |
444 |
2,75 |
48,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 98 -
d |
|
|
|
|
|
|
|
Сортамент прокатної сталі. |
|
|
|
||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x |
|
|
Кутники рівнобокі (ГОСТ 8509-72) |
|
|
||||||
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Розміри, |
Площа |
|
Моменти інерції, см4 |
|
Радіуси інерції, |
z0 , |
Маса 1 |
|||||||
профіл |
|
мм |
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|||
ю |
b |
|
d |
A , см2 |
Ix |
|
Ix0 (max) |
I y0 (min) |
|
Ix1 |
ix |
ix0 |
iy0 |
см |
м , кг |
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
50 |
|
3 |
2,96 |
7,11 |
|
11,3 |
2,95 |
|
12,4 |
1,55 |
1,95 |
1,00 |
1,33 |
2,32 |
|
4 |
3,89 |
9,21 |
|
14,6 |
3,80 |
|
16,6 |
1,54 |
1,94 |
0,99 |
1,38 |
3,05 |
||
|
|
|
5 |
4,80 |
11,2 |
|
17,8 |
4,63 |
|
20,9 |
1,53 |
1,92 |
0,98 |
1,42 |
3,77 |
5,6 |
56 |
|
4 |
4,38 |
13,1 |
|
20,8 |
5,41 |
|
23,3 |
1,73 |
2,18 |
1,11 |
1,52 |
3,44 |
|
5 |
5,41 |
16,0 |
|
25,4 |
6,59 |
|
29,2 |
1,72 |
2,16 |
1,10 |
1,57 |
4,25 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
6,3 |
63 |
|
4 |
4,96 |
18,9 |
|
29,9 |
7,81 |
|
33,1 |
1,95 |
2,45 |
1,25 |
1,69 |
3,90 |
|
5 |
6,13 |
23,1 |
|
36,6 |
9,52 |
|
41,5 |
1,94 |
2,44 |
1,25 |
1,74 |
4,81 |
||
|
|
|
6 |
7,28 |
27,1 |
|
42,9 |
11,20 |
|
50 |
1,93 |
2,43 |
1,24 |
1,78 |
5,72 |
|
|
|
4,5 |
6,20 |
29,0 |
|
46,0 |
12,0 |
|
51 |
2,16 |
2,72 |
1,39 |
1,88 |
4,87 |
7 |
70 |
|
5 |
6,86 |
31,9 |
|
50,7 |
13,2 |
|
56,7 |
2,16 |
2,72 |
1,39 |
1,90 |
5,38 |
|
6 |
8,15 |
37,6 |
|
59,6 |
15,5 |
|
68,4 |
2,15 |
2,71 |
1,38 |
1,94 |
6,39 |
||
|
|
|
7 |
9,42 |
43,0 |
|
68,2 |
17,8 |
|
80,1 |
2,14 |
2,69 |
1,37 |
1,99 |
7,39 |
|
|
|
8 |
10,70 |
48,2 |
|
76,4 |
20,0 |
|
91,9 |
2,13 |
2,68 |
1,37 |
2,02 |
8,37 |
|
|
|
5 |
7,39 |
39,5 |
|
62,6 |
16,4 |
|
69,6 |
2,31 |
2,91 |
1,49 |
2,02 |
5,80 |
7,5 |
75 |
|
6 |
8,78 |
46,6 |
|
73,9 |
19,3 |
|
83,9 |
2,30 |
2,90 |
1,48 |
2,06 |
6,89 |
|
7 |
10,1 |
53,3 |
|
84,6 |
22,1 |
|
98,3 |
2,29 |
2,89 |
1,48 |
2,10 |
7,96 |
||
|
|
|
8 |
11,5 |
59,8 |
|
94,6 |
24,8 |
|
113 |
2,28 |
2,87 |
1,47 |
2,15 |
9,02 |
|
|
|
9 |
12,8 |
66,1 |
|
105 |
27,5 |
|
127 |
2,27 |
2,86 |
1,46 |
2,18 |
10,10 |
|
|
|
5,5 |
8,63 |
52,7 |
|
83,6 |
21,8 |
|
93,2 |
2,47 |
3,11 |
1,59 |
2,17 |
6,78 |
8 |
80 |
|
6 |
9,38 |
57,0 |
|
90,4 |
23,5 |
|
102 |
2,47 |
3,11 |
1,58 |
2,19 |
7,36 |
|
7 |
10,8 |
65,3 |
|
104 |
27,0 |
|
119 |
2,45 |
3,09 |
1,58 |
2,23 |
8,51 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
8 |
12,3 |
73,4 |
|
116 |
30,3 |
|
137 |
2,34 |
3,08 |
1,57 |
2,27 |
9,65 |
|
|
|
6 |
10,6 |
82,1 |
|
130 |
34,0 |
|
145 |
2,78 |
3,50 |
1,79 |
2,43 |
8,33 |
9 |
90 |
|
7 |
12,3 |
94,3 |
|
150 |
38,9 |
|
169 |
2,77 |
3,49 |
1,78 |
2,47 |
9,64 |
|
8 |
13,9 |
106 |
|
168 |
43,8 |
|
194 |
2,76 |
3,48 |
1,77 |
2,51 |
10,9 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
9 |
15,6 |
118 |
|
186 |
48,6 |
|
219 |
2,75 |
3,46 |
1,77 |
2,55 |
12,2 |
|
|
|
6,5 |
12,8 |
122 |
|
193 |
50,7 |
|
214 |
3,09 |
3,88 |
1,99 |
2,68 |
10,1 |
|
|
|
7 |
13,8 |
131 |
|
207 |
54,2 |
|
231 |
3,08 |
3,88 |
1,98 |
2,71 |
10,8 |
10 |
100 |
|
8 |
15,6 |
147 |
|
233 |
60,9 |
|
265 |
3,07 |
3,87 |
1,98 |
2,75 |
12,2 |
|
10 |
19,2 |
179 |
|
284 |
74,1 |
|
333 |
2,05 |
3,84 |
1,96 |
2,83 |
15,1 |
||
|
|
|
12 |
22,8 |
209 |
|
331 |
86,9 |
|
402 |
3,03 |
3,81 |
1,95 |
2,91 |
17,9 |
|
|
|
14 |
26,3 |
237 |
|
375 |
99,3 |
|
472 |
3,00 |
3,78 |
1,94 |
2,99 |
20,6 |
|
|
|
16 |
29,7 |
264 |
|
416 |
112 |
|
542 |
2,98 |
3,74 |
1,94 |
3,06 |
23,3 |
11 |
110 |
|
7 |
15,2 |
176 |
|
279 |
72,7 |
|
308 |
3,40 |
4,29 |
2,19 |
2,96 |
11,9 |
|
8 |
17,2 |
198 |
|
315 |
81,8 |
|
353 |
3,39 |
4,28 |
2,18 |
3,00 |
13,5 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
8 |
19,7 |
294 |
|
467 |
122 |
|
516 |
3,37 |
4,87 |
2,49 |
3,36 |
15,5 |
|
|
|
9 |
22,0 |
327 |
|
520 |
135 |
|
582 |
3,86 |
4,86 |
2,48 |
3,40 |
17,3 |
12,5 |
125 |
|
10 |
24,3 |
360 |
|
571 |
149 |
|
649 |
3,85 |
4,84 |
2,47 |
3,45 |
19,1 |
|
12 |
28,9 |
422 |
|
670 |
174 |
|
782 |
3,82 |
4,82 |
2,46 |
3,53 |
22,7 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
14 |
33,4 |
482 |
|
764 |
200 |
|
916 |
3,80 |
4,78 |
2,45 |
3,61 |
26,2 |
|
|
|
16 |
37,8 |
539 |
|
853 |
224 |
|
1 051 |
3,78 |
4,75 |
2,44 |
3,68 |
29,6 |
14 |
140 |
|
9 |
24,7 |
466 |
|
739 |
192 |
|
818 |
4,34 |
5,47 |
2,79 |
3,78 |
19,4 |
|
10 |
27,3 |
512 |
|
814 |
211 |
|
911 |
4,33 |
5,46 |
2,78 |
3,82 |
21,5 |
||
|
|
|
12 |
32,5 |
602 |
|
957 |
248 |
|
1 097 |
4,31 |
5,43 |
2,76 |
3,90 |
25,5 |
|
|
|
10 |
31,4 |
774 |
|
1 229 |
319 |
|
1 356 |
4,96 |
6,25 |
3,19 |
4,30 |
24,7 |
|
|
|
11 |
34,4 |
844 |
|
1 341 |
348 |
|
1 494 |
4,95 |
6,24 |
3,18 |
4,35 |
27,0 |
16 |
160 |
|
12 |
37,4 |
913 |
|
1 450 |
376 |
|
1 633 |
4,94 |
6,23 |
3,17 |
4,39 |
29,4 |
|
14 |
43,3 |
1 046 |
|
1 662 |
431 |
|
1 911 |
4,92 |
6,20 |
3,16 |
4,47 |
34,0 |
||
|
|
|
16 |
49,1 |
1 175 |
|
1 866 |
485 |
|
2 191 |
4,89 |
6,17 |
3,14 |
4,55 |
38,5 |
|
|
|
18 |
54,8 |
1 299 |
|
2 061 |
537 |
|
2 472 |
4,87 |
6,13 |
3,13 |
4,63 |
43,0 |
|
|
|
20 |
60,4 |
1 419 |
|
2 248 |
589 |
|
2 756 |
4,85 |
6,10 |
3,12 |
4,70 |
47,4 |
18 |
180 |
|
11 |
38,8 |
1 216 |
|
1 933 |
500 |
|
2 128 |
5,60 |
7,06 |
3,59 |
4,85 |
30,5 |
|
12 |
42,2 |
1 317 |
|
2 093 |
540 |
|
2 324 |
5,59 |
7,04 |
3,58 |
4,89 |
33,1 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
12 |
47,1 |
1 823 |
|
2 896 |
749 |
|
3 182 |
6,22 |
7,84 |
3,99 |
5,37 |
37,0 |
|
|
|
13 |
50,9 |
1 961 |
|
3 116 |
805 |
|
3 452 |
6,21 |
7,83 |
3,98 |
5,42 |
39,9 |
20 |
200 |
|
14 |
54,6 |
2 097 |
|
3 333 |
861 |
|
3 722 |
6,20 |
7,81 |
3,97 |
5,46 |
42,8 |
|
16 |
62,0 |
2 363 |
|
3 755 |
970 |
|
4 264 |
6,17 |
7,78 |
3,96 |
5,54 |
48,7 |
||
|
|
|
20 |
76,5 |
2 871 |
|
4 560 |
1182 |
|
5 355 |
6,12 |
7,72 |
3,93 |
5,70 |
60,1 |
|
|
|
25 |
94,3 |
3 466 |
|
5 494 |
1438 |
|
6 733 |
6,06 |
7,63 |
3,91 |
5,89 |
74,0 |
|
|
|
30 |
111,5 |
4 020 |
|
6 351 |
1688 |
|
8 130 |
6,00 |
7,55 |
3,89 |
6,07 |
87,6 |
22 |
220 |
|
14 |
60,4 |
2 814 |
|
4 470 |
1159 |
|
4 941 |
6,83 |
8,6 |
4,38 |
5,93 |
47,4 |
|
16 |
68,6 |
3 175 |
|
5 045 |
1306 |
|
5 661 |
6,81 |
8,58 |
4,36 |
6,02 |
53,8 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
16 |
78,4 |
4 717 |
|
7 492 |
1942 |
|
8 286 |
7,76 |
9,78 |
4,98 |
6,75 |
61,5 |
|
|
|
18 |
87,7 |
5 247 |
|
8 337 |
2158 |
|
9 342 |
7,73 |
9,75 |
4,96 |
6,3 |
68,9 |
25 |
250 |
|
20 |
97,0 |
5 765 |
|
9 160 |
2370 |
|
10 401 |
7,71 |
9,72 |
4,94 |
6,91 |
76,1 |
|
22 |
106,1 |
6 270 |
|
9 961 |
2579 |
|
11 401 |
7,69 |
9,69 |
4,93 |
7,00 |
83,3 |
||
|
|
|
25 |
119,7 |
7 006 |
|
11 125 |
2887 |
|
13 064 |
7,65 |
9,64 |
4,91 |
7,11 |
94,0 |
|
|
|
28 |
133,1 |
7 717 |
|
12 244 |
3190 |
|
14 674 |
7,61 |
9,59 |
4,89 |
7,23 |
104,5 |
|
|
|
30 |
142,0 |
8 177 |
|
12 965 |
3389 |
|
14 753 |
7,59 |
9,56 |
4,89 |
7,31 |
111,4 |
- 99 -
y1 x0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
Сортамент прокатної сталі. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Кутники нерівнобічні (ГОСТ 8510-72) |
|
|
|
|
||||||||
B |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розміри, |
мм |
|
|
|
Моменти інерції, см |
4 |
Радіуси |
x0 , |
|
|
Маса |
||||||||
Номер |
|
Площа п/п |
|
|
інерції, |
см |
|
y , |
||||||||||||
профілю |
|
|
|
|
A , см |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 м , |
|
B |
b |
d |
|
|
Ix |
I y |
I x1 |
I y1 |
|
Imin |
ix |
|
iy |
imin |
см |
|
см |
кг |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5,6/3,6 |
56 |
36 |
4 |
|
3,58 |
|
11,4 |
3,7 |
23,2 |
6,25 |
|
2,19 |
1,78 |
|
1,02 |
0,78 |
0,84 |
|
1,82 |
2,81 |
5 |
4,41 |
|
13,8 |
4,48 |
29,2 |
7,91 |
|
2,66 |
1,77 |
1,01 |
0,78 |
0,88 |
1,86 |
3,46 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
4,04 |
|
16,3 |
5,16 |
33,0 |
8,51 |
|
3,07 |
2,01 |
1,13 |
0,87 |
0,91 |
2,03 |
3,17 |
|||
6,3/4 |
63 |
40 |
5 |
4,98 |
|
19,9 |
6,26 |
41,4 |
10,8 |
|
3,72 |
2,00 |
1,12 |
0,86 |
0,95 |
2,08 |
3,91 |
|||
6 |
5,90 |
|
23,3 |
7,28 |
49,9 |
13,1 |
|
4,36 |
1,99 |
1,11 |
0,86 |
0,99 |
2,12 |
4,63 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
8 |
7,68 |
|
29,6 |
9,15 |
66,9 |
17,9 |
|
5,58 |
1,96 |
1,09 |
0,85 |
1,07 |
2,20 |
6,03 |
|||
7/4,5 |
70 |
45 |
5 |
5,59 |
|
27,8 |
9,05 |
56,7 |
15,2 |
5,34 |
2,23 |
1,27 |
0,98 |
1,05 |
2,28 |
4,39 |
||||
7,5/5 |
75 |
50 |
5 |
6,11 |
|
34,8 |
12,5 |
69,7 |
20,8 |
7,24 |
2,39 |
1,43 |
1,09 |
1,17 |
2,39 |
479 |
||||
6 |
7,25 |
|
40,9 |
14,6 |
83,9 |
25,2 |
|
8,48 |
2,38 |
1,42 |
1,08 |
1,21 |
2,44 |
5,69 |
||||||
|
|
|
8 |
9,47 |
|
52,4 |
18,5 |
112 |
34,2 |
|
10,9 |
2,35 |
1,40 |
1,07 |
1,29 |
2,52 |
7,43 |
|||
8/5 |
80 |
50 |
5 |
6,36 |
|
41,6 |
12,7 |
84,6 |
20,8 |
|
7,58 |
2,56 |
1,41 |
1,09 |
1,13 |
2,60 |
4,99 |
|||
6 |
7,55 |
|
49,0 |
14,8 |
102 |
25,2 |
8,88 |
2,55 |
1,40 |
1,08 |
1,17 |
2,65 |
5,92 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9/5,6 |
90 |
56 |
5,5 |
7,86 |
|
65,3 |
19,7 |
132 |
32,2 |
11,8 |
2,88 |
1,58 |
1,22 |
1,26 |
2,92 |
6,17 |
||||
6 |
8,54 |
|
70,6 |
21,2 |
145 |
35,2 |
12,7 |
2,88 |
1,58 |
1,22 |
1,28 |
2,95 |
6,70 |
|||||||
|
|
|
8 |
11,18 |
|
90,9 |
27,1 |
194 |
47,8 |
16,3 |
2,85 |
1,56 |
1,21 |
1,36 |
3,04 |
8,77 |
||||
|
|
|
6 |
9,59 |
|
98,3 |
30,6 |
198 |
49,9 |
18,2 |
3,2 |
1,79 |
1,38 |
1,42 |
3,23 |
7,53 |
||||
10/6,3 |
100 |
63 |
7 |
11,1 |
|
113 |
35,0 |
232 |
58,7 |
|
20,8 |
3,19 |
1,78 |
1,37 |
1,46 |
3,28 |
8,70 |
|||
8 |
12,6 |
|
127 |
39,2 |
266 |
67,6 |
|
23,4 |
3,18 |
1,77 |
1,36 |
1,50 |
3,32 |
9,87 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
10 |
15,5 |
|
154 |
47,1 |
333 |
85,8 |
|
28,3 |
3,15 |
1,75 |
1,35 |
1,58 |
3,40 |
12,10 |
|||
11/7 |
110 |
70 |
6,5 |
11,4 |
|
142 |
45,6 |
286 |
74,3 |
26,9 |
3,53 |
2,00 |
1,53 |
1,58 |
3,55 |
8,98 |
||||
8 |
13,9 |
|
172 |
54,6 |
353 |
92,3 |
|
32,3 |
3,51 |
1,98 |
1,52 |
1,64 |
3,61 |
10,90 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
7 |
14,1 |
|
227 |
73,7 |
452 |
119 |
|
43,4 |
4,01 |
2,29 |
1,76 |
1,80 |
4,01 |
11,0 |
|||
12,5/8 |
125 |
80 |
8 |
16,0 |
|
256 |
83 |
518 |
137 |
|
48,8 |
4,00 |
2,28 |
1,75 |
1,84 |
4,05 |
12,5 |
|||
10 |
19,7 |
|
312 |
100 |
649 |
173 |
|
59,3 |
3,98 |
2,26 |
1,74 |
1,92 |
4,14 |
15,5 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
12 |
23,4 |
|
365 |
117 |
781 |
210 |
|
69,5 |
3,95 |
2,24 |
1,72 |
2,00 |
4,22 |
18,3 |
|||
14/9 |
140 |
90 |
8 |
18,0 |
|
364 |
120 |
727 |
104 |
|
70,3 |
4,49 |
2,58 |
1,98 |
2,03 |
4,49 |
14,1 |
|||
10 |
22,2 |
|
444 |
146 |
911 |
245 |
|
85,5 |
4,47 |
2,56 |
1,96 |
2,12 |
4,58 |
17,5 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
9 |
22,9 |
|
606 |
186 |
1 221 |
300 |
|
110 |
5,15 |
2,85 |
2,20 |
2,23 |
5,19 |
18,0 |
|||
16/10 |
160 |
100 |
10 |
25,3 |
|
667 |
204 |
1 359 |
335 |
|
121 |
5,13 |
2,84 |
2,19 |
2,28 |
5,23 |
19,8 |
|||
12 |
30,0 |
|
784 |
239 |
1 634 |
405 |
|
142 |
5,11 |
2,82 |
2,18 |
2,36 |
5,32 |
23,6 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
14 |
34,7 |
|
897 |
272 |
1 910 |
477 |
|
162 |
5,08 |
2,80 |
2,16 |
2,43 |
5,40 |
27,3 |
|||
18/11 |
180 |
|
10 |
28,3 |
|
952 |
276 |
1 933 |
444 |
|
165 |
5,80 |
3,12 |
2,42 |
2,44 |
5,88 |
22,2 |
|||
|
12 |
33,7 |
|
1 123 |
324 |
2 324 |
537 |
|
194 |
5,77 |
3,10 |
2,40 |
2,52 |
5,97 |
26,4 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
11 |
34,9 |
|
1 449 |
446 |
2 920 |
718 |
|
264 |
6,45 |
3,58 |
2,75 |
2,79 |
6,50 |
27,4 |
|||
20/12,5 |
200 |
125 |
12 |
37,9 |
|
1 568 |
482 |
3 189 |
786 |
|
285 |
6,43 |
3,57 |
2,74 |
2,83 |
6,54 |
29,7 |
|||
14 |
43,9 |
|
1 801 |
551 |
3 726 |
922 |
|
327 |
6,41 |
3,54 |
2,73 |
2,91 |
6,62 |
34,4 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
16 |
49,8 |
|
2 026 |
617 |
4 264 |
1 061 |
|
367 |
6,38 |
3,52 |
2,72 |
2,99 |
6,71 |
39,1 |
|||
|
|
|
12 |
48,3 |
|
3 147 |
1 032 |
6 212 |
1 634 |
|
604 |
8,07 |
4,62 |
3,54 |
3,53 |
7,97 |
37,9 |
|||
25/16 |
250 |
160 |
16 |
63,6 |
|
4 091 |
1 333 |
8 308 |
2 200 |
|
781 |
8,02 |
4,58 |
3,5 |
3,69 |
8,14 |
49,9 |
|||
18 |
71,1 |
|
4 545 |
1 475 |
9 358 |
2 487 |
|
896 |
7,99 |
4,56 |
3,49 |
3,77 |
8,23 |
55,8 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
20 |
78,5 |
|
4 987 |
1 613 |
10 410 |
2 776 |
|
949 |
7,97 |
4,53 |
3,48 |
3,85 |
8,31 |
61,7 |
- 100 -
ДОДАТОК 2.
Якщо немає спеціальних вказівок в умовах задач, то при їх розв’язуванні необхідно приймати наступні середні значення вказаних величин
Модуль пружності сталі при розтягу або стиску |
E = 2 ×10 5 |
МПа |
||
алюмінія та дюралюмінія |
E =0.7×10 5 |
МПа |
||
чавуна |
E =1.2×10 5 |
МПа |
||
міді |
E =1×10 5 |
МПа |
||
дерева вздовж волокон |
E =1×10 4 |
МПа |
|
|
Модуль пружності сталі при зсуві |
G =8×10 4 |
МПа |
||
Об’ємна вага сталі |
g =7.8×10 4 |
Н м 3 |
||
Температурний коефіцієнт лінійного розширення |
|
|
|
|
cталі |
a t =125×10 -7 |
град -1 |
||
міді |
a t =165×10 -4 |
град -1 |
||
Коефіцієнт Пуасона сталі |
m =0.3 |
|
|
|
- 101 -