ИЭ / 4 семестр / Теория и задачи / Криволинейные интегралы - теория
.pdfГлава 2. Криволинейные интегралы
В главе 1 были рассмотрены кратные интегралы. В этой главе мы остановимся на новых разновидностях интеграла: криволинейных интегралах 1 и 2 рода. Из самого названия следует, что эти интегралы рассматриваются вдоль «кривых линий».
Под «кривой линией» (или просто кривой, или просто линией) на плоскости или в пространстве подразумевается непрерывная спрямляемая кривая без самопересечений. Такие кривые будем называть простыми кривыми. Заметим, что как частный случай, кривая может быть и отрезком прямой линии.
Спрямляемость означает, что кривая имеет конечную длину (см. [4], . ). Если кривая – замкнутая, то она называется контуром.
Изучение криволинейных интегралов начнем с интегралов 1 рода.
2.1. Криволинейный интеграл 1 рода
Здесь, как и в случае кратных интегралов, сначала введем новое понятие и изучим его свойства, затем выведем формулу для вычисления и в заключение рассмотрим некоторые его приложения.
|
|
2.1.1. Понятие криволинейного интеграла 1 рода |
|
||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим простую кривую |
|
̆ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на плоскости или в пространстве. Пусть на этой |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кривой задана некоторая функция ( ). |
|
|
|
−2 |
−1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
Выполним следующие действия. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
Разбиение кривой на частичные дуги |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
точками |
≡ , |
, …, , |
≡ : |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
̆ |
|
|
|
̆ |
|
|
|
|
̆ |
|
(рис. 2.1), |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
2 |
… |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
̆ |
|
- дуга |
|
( |
|
|
), |
= 1, 2, … , |
|
|
|
|
||||||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Выбор промежуточных точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
̆ |
|
|
= 1, 2, … , . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Разбиение кривой |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычисление суммы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
∑ |
|
|
( |
) ∙ ∆ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где ∆ |
|
|
|
|
̆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̆ |
|
= 1, 2, … , . |
|
|||
|
|
= | | |
- длина частичной дуги , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
называется интегральной суммой Римана функции ( ) по кривой . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть λ = |
∆ - наибольшая из длин частичных дуг - ранг разбиения. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Число называется пределом интегральных сумм при λ → 0, если для > 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 такое, что для любого разбиения кривой с рангом разбиения λ < и при |
|||||||||||||||||||||||
любом выборе промежуточных точек { |
} |
выполняется неравенство: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
− | |
< . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запись: |
|
= |
|
- означает, что при λ → 0 этот предел существует, он не |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .
Определение 2.2.
Конечный предел интегральных сумм при λ → 0 называется криволинейным интегралом 1 рода (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции ( ) вдоль кривой .
2
|
Обозначения: ∫ |
( ) |
или: ∫ |
( , ) , |
∫ ( , , ) . |
|
||||||||||||
Встречаются также обозначения: ∫ |
( ) или: ∫ ( , ) , |
∫ |
( , , ) . |
|||||||||||||||
|
Таким образом, по определению имеем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
( ) = |
|
∑ |
( |
) ∙ ∆ |
|
или: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
( , ) = |
∑ |
|
( , ) ∙ ∆ |
|
- для плоской кривой |
|
|
||||||||||
|
λ → 0 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
( , , ) = ∑ |
|
( |
, |
, |
) |
∙ ∆ |
|
|
- для пространственной кривой. |
||||||||
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция ( ), для которой существует криволинейный интеграл 1 рода, называется интегрируемой вдоль кривой .
Пример 2.1.
|
∫ |
0∙ = |
∑=1 |
0∙∆ |
= 0 = 0 |
∫ 0∙ = 0; |
||
|
|
|
λ → 0 |
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
1∙ = |
∑=1 |
1∙∆ = |
|
| | = | | |
∫ 1∙ = | | - длина кривой . |
||
|
λ → 0 |
|
|
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода.
Если ( , , ) – линейная плотность массы, распределенной вдоль кривой , то
= ∫ |
( , , ) – масса неоднородной кривой ; |
если ( , , ) – линейная плотность электрического заряда, распределенного |
|
вдоль кривой , то |
|
= ∫ |
(, , – заряд всей кривой . |
|
) |
Замечание 2.1.
Из определения криволинейного интеграла 1 рода вытекает следующее свойство:
∫̆ |
( ) = ∫̆ ( ) , |
|
|
т.е. величина интеграла не зависит от направления, выбранного на кривой . Условия интегрируемости.
Сформулируем теоремы об условиях интегрируемости функции вдоль кривой. Доказательства этих утверждений аналогичны случаю кратных интегралов.
Теорема 2.1 (Необходимое условие интегрируемости).
Если функция ( ) интегрируема вдоль кривой, то она ограничена на этой кривой.
Замечание 2.2.
Обратное утверждение неверно: есть ограниченные, но не интегрируемые функции. Теорема 2.2 (Достаточное условие интегрируемости).
Пусть - гладкая кривая (см. [4], . ), а функция ( ) непрерывна на ней. Тогда эта функция интегрируема вдоль кривой .
2.1.2. Свойства криволинейного интеграла 1 рода 1. Нормированность.
Криволинейный интеграл 1 рода от единицы вдоль кривой равен длине кривой:
∫ 1∙ = | |.
2. Линейность.
Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы вдоль кривой . Тогда а) постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла 1 рода:
3
∫ ∙( ) = ∙∫ ( ) , = ;
б) криволинейный интеграл 1 рода от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов 1 рода от этих функций:
∫ ( ( ) + ( )) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .
Свойство линейности можно записать в следующем виде:
∫ (1 ∙ ( ) + 2 ∙ ( )) = 1∙∫ |
( ) + 2∙∫ |
( ) |
1, 2 = . |
3. Аддитивность.
Пусть функция ( ) интегрируема вдоль кривой . Если кривая разбита на две дуги, то криволинейный интеграл 1 рода по всей кривой равен сумме криволинейных интегралов 1 рода по каждой из этих дуг:
∫ |
( ) = ∫ |
( ) + ∫ |
( ) , |
где = 1 2 |
и 1 ∩ 2 = . |
|
1 |
2 |
|
|
|
4. Интегрирование неравенств.
Пусть функции ( ), ( ) интегрируемы вдоль кривой и удовлетворяют неравенству: ( ) ≥ ( ) . Тогда справедливо неравенство:
∫ |
( ) ≥ ∫ |
( ) . |
|
Следствие 2.1. |
|
|
|
а) Если ( ) ≥ 0 |
, то ∫ |
( ) ≥ 0. |
|
б) Пусть ( ) ≥ 0 |
, тогда для любых дуг 1, 2 справедливо |
||
утверждение: |
|
|
|
1 2 |
|
∫ ( ) ≤ ∫ ( ) . |
|
|
|
1 |
2 |
в) |∫ ( ) | ≤ ∫ |( )|.
5. Оценки криволинейного интеграла 1 рода.
Если значения подынтегральной функции ( ) на кривой ограничены величинами и , то значение интеграла ограничено величинами ∙| | и ∙| |, где | | - длина кривой:
≤ ( ) ≤ ∙| | ≤ ∫ ( ) ≤ ∙| |
6. Теоремы о среднем значении.
Теорема 2.3.
Пусть функция ( ) интегрируема вдоль кривой и пусть
= { ( ), }; |
= { ( ), }. |
|||||
Тогда [ ; ]: |
∫ |
( ) = ∙| |, |
где | | - длина кривой. |
|||
Число = |
1 |
∙∫ |
|
( ) - называется интегральным средним значением функции |
||
|
|
|||||
|
| | |
|
|
|
|
|
( ) на кривой . |
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.4. |
|
|
|
|
|
|
Пусть функция ( ) непрерывна на кривой . Тогда 0 : |
||||||
|
|
∫ |
|
( ) = (0)∙| |, |
где | | - длина кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2.3.
Доказательство всех этих свойств аналогично случаю кратных интегралов.
4
2.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода
Покажем, как вычисление криволинейного интеграла 1 рода ∫ ( , , ) сводится к вычислению определенного интеграла.
2.2.1. Сведе́ние к определенному интегралу
̆ |
|
|
На кривой = введем так называемую естественную параметризацию. Это |
||
значит, что положение произвольной точки на кривой определяется длиной дуги |
|
|
̆ |
(рис. 2.2). Тогда кривая будет задана |
|
= | |, отсчитываемой от начальной точки |
||
параметрическими уравнениями: |
|
|
= ( ) |
|
|
|
||
{ = ( ), 0 ≤ ≤ | |, |
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
где параметр (длина дуги) называется |
|
|
|
|
|
естественным параметром кривой . |
|
|
При этом подынтегральная функция |
|
|
( , , ) сведется к сложной функции: |
0 |
|
|
|
( ( ), ( ), ( )).
По определению имеем:
∫ |
( , , ) = |
|
∑ |
|
|
( )∙∆ |
|
. |
|
|
|
Рис. 2.2. Иллюстрация к естественной |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметризации кривой |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь - промежуточная точка на дуге |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̆ |
|
= ( |
|
|
), где |
|
|
и - точки деления кривой , |
∆ |
|
|
̆ |
|
|
|
− |
= ∆ - |
||||||||||||||
|
|
−1 |
|
= | | = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||
|
|
|
̆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточная точка |
( |
, , ) соответствует |
|||||||||||||||||
длина дуги , = 1, 2, … , . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
некоторому значению естественного параметра = , |
= 1, 2, … , . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначение: ( ) = ( ( ), ( ), ( )). Тогда интегральная сумма Римана |
|||||||||||||||||||||||||||||
запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= ∑ |
( |
)∙∆ |
|
= ∑ |
( ( |
), ( |
), ( |
))∙∆ = |
∑ |
( |
)∙∆ . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Следовательно, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
( , , ) = |
= |
∑ |
|
( |
)∙∆ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ → 0 |
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Если вспомнить понятие определенного интеграла (см. [4], . ), то можно |
|||||||||||||||||||||||||||||
заметить, что последнее выражение есть не что иное, как определенный интеграл от |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функции ( ) по промежутку [0, | |]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫| | ( ) = |
|
∑ |
( )∙∆ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
λ → 0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Таким образом, получаем формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
( , , ) = ∫0| | ( ) = ∫0| | ( ( ), ( ), ( )) |
. |
|
|
|
Полученная формула показывает, что вычисление криволинейного интеграла 1 рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Однако эта формула имеет чисто теоретический интерес: при вычислениях она мало пригодна, так как задать конкретную кривую с помощью естественной параметризации удается крайне редко. Необходимо получить формулу для вычисления криволинейного интеграла 1 рода при произвольной параметризации кривой.
5
2.2.2. Вычисление интеграла вдоль пространственной кривой
Рассмотрим гладкую кривую , заданную параметрическими уравнениями:
= ( )
{ = ( ), [ ; ], где ( ), ( ), ( ) - непрерывно-дифференцируемые функции.
= ( )
Для дальнейших выкладок нам потребуется формула для длины кривой. Как известно (см. [4], . ), длина кривой вычисляется по формуле:
|
|
| | = ∫ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
̆ |
|
- имеем: |
|||
Соответственно, для длины дуги = | |, где ( ( ), ( ), ( )) |
|||||||||
|
= ( ) = ∫ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 |
, |
≤ ≤ . |
|
|||||
При этом производная функции ( ) равна: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
′( ) = √( ′( ))2 + ( ′( ))2 + ( ′( ))2 > 0 |
[ ; ], что обеспечивает строгое |
возрастание функции ( ).
Теорема 2.5.
Пусть - гладкая кривая - задана параметрическими уравнениями:
= ( )
{ = ( ), [ ; ]; пусть функция ( , , ) непрерывна на кривой .
= ( )
Тогда справедлива формула:
∫ |
( , , ) = ∫ ( ( ), ( ), ( )) ∙ √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 |
|
. |
Доказательство. |
|
В пункте 2.2.1 получена формула: ∫ |
( , , ) = ∫0| | ( ( ), ( ), ( )) . |
Сделаем замену переменной в этом определенном интеграле:
= ( ) = ′( ) = √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 [ ( ) = ( ( )) = ( ), ( ) = ( ( )) = ( ), ( ) = ( ( )) = ( )]
0 ≤ ≤ | | ≤ ≤
∫0| | ( ( ), ( ), ( )) = ∫ ( ( ), ( ), ( ))√( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 .
Теорема доказана.
Пример 2.2.
Вычислить криволинейный интеграл 1 рода = ∫ , где - коническая
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
винтовая линия (винтовая линия на конусе): |
{ = ∙ , [0; √2]. |
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ , |
= ∙ , = |
|
|
|
|||
∫ = [ |
′( ) = − ∙ , |
′( ) = + ∙ , |
′( ) = 1 |
|||||
|
|
|
|
|
] = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √( ′)2 + ( ′)2 + ( ′)2 = √2 + 2
= ∫0√2 ∙√2 + 2 = 12 ∫0√2 √2 + 2 (2 + 2) = 13 √(2 + 2)3|√02 = 13 (8 − 2√2) = 23 (4 − √2). Ответ: = 23 (4 − √2).
6
2.2.3. Вычисление интеграла вдоль плоской кривой
= ( )
Вслучае плоской кривой , заданной параметрическими уравнениями: { = ( ),
[ ; ] - имеем следующую формулу для вычисления криволинейного интеграла 1 рода:
∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))∙√( ′)2 + ( ′)2 .
Если кривая задана явным уравнением: = ( ), [ ; ] - то формула принимает вид:
∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))∙√1 + ( ′( ))2 .
Если кривая задана уравнением в полярных координатах: = ( ), [ ; ] - то формула примет вид:
∫ ( , ) = ∫ [ ( ) , ( ) ]∙√ 2 + ( ′ )2 .
Эти формулы являются следствием формул длины плоской кривой при различных способах задания этой кривой ([4], . ):
| | = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | = ∫ √1 + ( ′( ))2 |
|
|
| | = ∫ √ 2 |
+ ( ′ )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
√ |
( ′)2 + ( ′)2 |
, |
, |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Вычислить криволинейный интеграл 1 рода = ∫ |
1 |
, |
где – отрезок прямой, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соединяющей точки (1; 1) |
|
|
и (2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение отрезка прямой линии , проходящей через две заданные точки (1; 1) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2; 3) имеет вид (рис. 2.3): |
|
|
|
= 2 − 1, [1; 2]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Применим формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))∙√1 + ( ′( ))2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где = ( ) = 2 − 1, |
|
′( ) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
′)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ = |
∫1 ∙√1 + |
|
= ∫1 (2 −1)∙√5 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= √5∙∫1 |
|
|
|
|
|
= √5∙∫1 ( |
|
|
− |
|
) = |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
(2 −1) |
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∙ ( |
2 −1 |
) |2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= √5 |
= √5∙( |
− 1) = √5 |
∙ 1,5. |
|
|
Рис. 2.3. Иллюстрация |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к Примеру 2.3 |
|
||
Ответ: |
= √5∙ 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Приложения криволинейного интеграла 1 рода
Физические приложения
Масса кривой:
= ∫ ( , , ) - для пространственной кривой,
= ∫ ( , ) - для плоской кривой,
где ( , , ) или ( , ) - линейная плотность массы, распределенной вдоль кривой .
Электрический заряд кривой:
= ∫ |
(, , ) - для пространственной кривой, |
= ∫ |
(, ) - для плоской кривой, |
где ( , , ) или ( , ) - линейная плотность заряда, распределенного вдоль кривой .
7
Геометрические приложения
Длина кривой: | | = ∫ |
1∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Площадь цилиндрической поверхности: |
|
|
|
|
|
(цил.) = ∫ ( ) = |
∫ ( , ) . |
|
= ( , ) |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Здесь цилиндрическая поверхность цил. |
|
|
|
||
(рис. 2.4) задается условиями: |
|
|
|
|
|
- образующая параллельна оси ; |
|
|
|
|
|
- направляющей служит кривая , лежащая |
|
|
цил. |
||
|
|
|
|||
в плоскости ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- сверху поверхность ограничена кривой: |
|
||||
|
|
|
|
||
= ( , ) |
|
Рис. 2.4. Площадь цилиндрической |
|||
{ ( , ) . |
|
|
поверхности |
Механические приложения
Статические моменты плоской кривой относительно координатных осей и :
= ∫ |
) |
, |
= ∫ |
) |
. |
||
∙(, |
∙(, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей , и :
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
) |
, |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
) |
, |
|
|
= |
∫ |
|
|
) |
. |
||||||||
|
|
∙(, , |
|
|
|
|
∙(, , |
|
∙(, , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Координаты центра тяжести (0, 0) - плоской кривой |
и (0, 0, 0) - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
пространственной кривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
∙ , |
|
= |
1 |
∙ |
- для плоской кривой; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1 |
∙ , |
= |
1 |
∙ |
|
, |
|
= |
1 |
∙ |
- для пространственной кривой. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Моменты инерции плоской кривой относительно осей координат , и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки - начала координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
∫ |
2 |
|
|
) |
|
|
= |
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
) |
, |
= + = ∫ ( |
2 |
+ |
2) |
|
) |
. |
||||||||||||
|
|
∙(, , |
|
∙(, |
|
|
∙(, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Моменты инерции пространственной кривой относительно координатных плоскостей , и , относительно координатных осей , и и относительно точки - начала координат:
|
= ∫ |
|
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
2 |
) |
, |
|
|
= ∫ |
|
2 |
) |
, |
|
||
|
∙(, , , |
|
|
|
|
∙(, , |
|
|
∙(, , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
∫ (2 + 2)(, , ) , |
= |
∫ |
( 2 + 2)(, , ) , |
= |
∫ ( 2 + 2)(, , ) , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
+ |
+ |
= |
1 |
( + + ) = |
∫ |
( 2 + 2 + 2)∙(, , ) . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найти длину одного витка винтовой линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= ∙ |
[0; 2 ] (рис. 2.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
: { = ∙ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим формулу: | | = ∫ |
1∙ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где = √(′)2 + (′)2 + (′)2 . Здесь имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ = −∙ , |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
Рис. 2.5. К Примеру 2.4 |
|||||||||||||||||||
= ∙ , |
|
= , |
= √2 + 2 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
В результате получим: | | = ∫02 √2 + 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= 2∙√2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: | | = 2∙√2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти площадь боковой поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
прямого кругового цилиндра с радиусом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
основания и высотой . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Введем систему координат так, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
основание цилиндра лежало в плоскости , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
начало координат совпадало с центром круга, а ось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
была параллельна образующей цилиндра (рис. 2.6). |
|
|
|
|
Рис. 2.6. К Примеру 2.5 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Направляющей цилиндрической поверхности |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
будет окружность радиуса . Ограничивающая сверху кривая имеет уравнение: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ( , ) = , где ( , ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Следовательно, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(цил.) = ∫ |
( , ) = ∫ = ∙∫ |
= ∙| | = 2∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: бок. |
цил. = 2∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти площадь той части боковой поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
прямого кругового цилиндра, которая лежит «под» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
винтовой линией: { = ∙ sin , [0; 2 ] (рис. 2.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7. К Примеру 2.6 |
|
||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( , ) = [ = ∙ sin ] = ∫02 ∙ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(цил.) = ∫ |
(′)2 |
+ (′)2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ∫0 ∙ √(− ∙ sin ) |
2 |
+ ( ∙ |
)2 |
= ∙ ∫0 |
= |
|
|0 |
|
= 2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: ( |
|
) = 22 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
цил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.7. |
|
|
Найти массу эллипса 2 + 2 = 1, если
2
плотность массы в точке ( , ) равна (, ) = | |.
Решение.
Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат (рис. 2.8) и четность функции | |, можно найти массу четверти эллипса и умножить результат на 4.
1
√2
Рис. 2.8. К Примеру 2.7
Эллипс можно задать параметрическими уравнениями: { = √2 ∙ , [0; 2 ].
=
Применим формулу для вычисления массы:
|
|
|
( , ) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ∫ |
( ( ), ( ))∙√ |
(′)2 + (′)2 |
. |
|
|
||||||||||
Вычислим массу первой четверти эллипса: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( ( ), ( ))∙√ |
(′)2 + (′)2 |
= ∫ |
|
|
( )∙√ |
(′)2 |
+ (′)2 |
= |
||||||
= ∫2 |
2 |
|||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∙√22 + 2 |
= − ∫ |
|
√2 − 2 |
|
√2 − 2 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ∫2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |10 = |
1 |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
= 4∙( |
|
|
1 |
) = + 2. |
|||||||||||||||||||||||||
= ( |
+ |
∙ √2 − 2 |
+ |
= |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
√2 |
|
√2 |
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: = + 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 2.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Найти координаты центра масс контура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
однородного сферического треугольника, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
расположенного в первом октанте (рис. 2.9): |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ |
2 |
+ |
2 |
|
|
= |
2 |
, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пусть (0, 0, 0) - центр масс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
заданного контура. Применим формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
∙ |
|
= |
1 |
|
∙∫ ∙(, , ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∙∫ ∙(, , ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
1 |
|
∙ |
|
|
= |
1 |
∙∫ ∙(, , ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9. К Примеру 2.8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ ( , , ) .
Учитывая, что контур – однородный, т.е. ( , , ) = = , получаем:
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
= ∙∫ |
|
|
|
= ∙| |, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
= |
1 |
|
∙∫ |
|
∙ = |
1 |
|
|
∙ ∫ |
|
= |
1 |
|
∙∫ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
∙∫ |
|
∙ = |
1 |
|
|
|
∙ ∫ |
|
= |
1 |
∙∫ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
= |
|
|
1 |
∙∫ |
∙ = |
1 |
|
∙ |
∫ |
|
|
|
|
= |
1 |
|
∙∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙| | |
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычислим ∫ |
|
|
. Разобьем контур на три кривые: = 1 2 3, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
: |
{ |
2 + 2 = 2 |
, |
: { |
2 + 2 = 2 |
|
: { |
2 |
+ 2 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- четверти окружностей радиуса ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
следовательно: | | = 3∙ |
2 |
= |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
По свойству аддитивности имеем: |
∫ |
|
= ∫ 1 + ∫ 2 + ∫ 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ 1 = ∫ 1 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{ |
= ∙ |
, 0 ≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ 2 = [ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = ∫0 ∙ ∙ = ∙ |0 |
= ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= √(′)2 + (′)2 = ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{ = ∙ , |
0 ≤ ≤ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
= [ |
|
|
] = ∫ |
2 |
∙ ∙ = 2∙ |2 |
= 2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
= √(′)2 |
|
+ (′)2 |
= ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ = 0 + 2 + 2 = 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получим: |
∫ |
= 22 |
|
и ∫ |
|
= 22. |
Следовательно: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
= |
|
|
= |
1 |
∙∫ |
|
= |
1 |
∙∫ |
|
= |
1 |
∙∫ |
= |
2 |
∙22 = |
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ: ( |
4 |
, |
4 |
, |
4 |
) - центр масс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
2.4. Криволинейный интеграл 2 рода
Вначале рассмотрим задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла 2 рода.
2.4.1. Задача о вычислении работы переменной силы вдоль кривой
Предположим, что материальная точка перемещается вдоль кривой под
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.10). |
|
|
|
|
|||||
действием переменной силы |
|
|
|
|
||||||||||||
Требуется найти работу , которую |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при перемещении точки |
|
|
( ) |
|
|||||||||||
совершает сила |
|
|
|
|
||||||||||||
из пункта в пункт . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частный случай этой задачи рассмотрен |
|
|
|
|
||||||||||||
в работе [4], . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из курса физики известно, что если |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сила постоянна (по величине и направлению), |
|
|
0 |
|
||||||||||||
а линия = [ ] - отрезок прямой, то |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
работа равна скалярному произведению |
|
|
|
|
||||||||||||
вектора силы на вектор перемещения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. Перемещение точки |
||||
= ∙ = | |∙| |∙ , |
|
|
|
|
вдоль кривой |
|
||||||||||
где - угол между векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для решения задачи в общем случае разобьем кривую на частичные дуги |
|
|||||||||||||||
точками ≡ , , … , |
−1 |
, |
|
≡ : |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
̆ |
|
̆ |
|
|
̆ |
|
, |
|
̆ |
|
- дуга |
( |
|
), = 1 ÷ . |
|
|
= |
|
2 |
… |
|
где |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
Далее на каждой частичной дуге выберем произвольную точку ̆ , = 1 ÷ (рис. 2.11).
Если частичные дуги имеют достаточно малые размеры, то вектор силы на этом участке можно считать постоянным и равным ( ), а дугу (−1 ) - можно считать отрезком прямой.
Тогда работа силы на этом участке приближенно равна: ≈ ( )∙∆ ,
( )
∆
−1
Рис. 2.11. Вычисление
работы на частичных дугах
где |
|
|
, |
= 1 ÷ . |
|
∆ |
= |
|
|||
|
|
−1 |
|
|
|
|
Вся работа |
равна сумме работ на частичных участках: |
= ∑=1 ≈ ∑=1 ( )∙∆ .
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше размеры частичных дуг или модули векторов ∆ , = 1 ÷ ; другими словами, чем меньше ранг разбиения
λ = |∆ |, тем точнее эта приближенная формула.
1≤ ≤
В пределе при λ → 0 получим точное равенство:
= |
|
∑ |
|
|
|
|
=1 |
( |
)∙∆ . |
||||
|
λ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.2. Понятие криволинейного интеграла 2 рода
Пусть = ̆ - простая кривая на плоскости или в пространстве, на которой задана вектор - функция ( ), . Выберем направление на кривой, идущее от точки
к точке . Выполним следующие действия.
1. Разбиение кривой на частичные дуги точками 0 ≡ , 1, … , −1, ≡ :