![](/user_photo/66659_40AS9.jpg)
Линадз2
.docxМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
К
алужский
филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(Национальный Исследовательский Университет)»
(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
ФАКУЛЬТЕТ |
М-КФ «Машиностроительный» |
КАФЕДРА |
М10-КФ «Высшая математика» |
ДОМАШНЯЯ РАБОТА №2
«Функции нескольких перемненных»
ДИСЦИПЛИНА: |
"Линейная алгебра и ФНП" |
|
|
|
Выполнил: студент гр.РПД.Б.-21 |
_______________(Прудников А.Ф.) Подпись Ф.И.О.
|
Проверил: |
_______________(Емельянов Л.А.) Подпись Ф.И.О.
|
Дата сдачи (защиты): |
|
|
Результаты сдачи (защиты):
-Балльная оценка
-Оценка |
|
|
|
|
Калуга, 2020 г.
Задание №1
Найти
область определения функции и изобразить
ее на чертеже
.
Задание №2
Вычислить
приближенно
.
;
;
;
;
;
Задание №3
Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция Z
Найдём производные функции z:
Подставим получившиеся значения в диффуравнение:
-
верно, значит функция
подходит
Задание №4
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М0(x0,y0,z0).
Т.к.
у нас уравнение не выраженное, то
уравнение касательной плоскости и
уравнение нормали в точке
будут соответственно следующими:
Сначала найдём производные по переменным в этой точке.
Теперь воспользовавшись формулами подставим получившиеся значения в них:
– уравнение
касательной плоскости в точке
.
-
уравнение нормали в точке
.
Задание №5
Найти
производную функции U=f(x,y,z) в точке
по
направлению вектора
Производная
в точке
по направлению
находится по следующей формуле:
.
Сначала найдём производные по переменным:
Теперь
найдём направляющие косинусы по формулам
,
,
.
Для этого найдём длину вектора
:
.
Теперь подставим в уравнения:
Подставим все имеющиеся значения в начальную формулу и найдём ответ:
Задание №5
Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение:
Находим частные производные первого порядка:
Критические точки находятся из системы:
Решением
системы является точка
Находим
частные производные второго порядка
и составим дискриминант
.
Находим значение дискриминанта в точке:
и
,
следовательно в точке
функция имеет минимум,
.
Задание №7
Найти
экстремум функции
Найдём частные производные функции:
Составим и решим систему уравнений:
Отсюда
Теперь найдём частные производные второго порядка:
Подставим
в каждое значение точки
:
И
найдём дискриминант
– точка перегиба.
Задание №6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=z(x,y) в области D, ограниченной заданными линиями
D:
x=0, x=1, y=2, y=6
Исследуем
функцию на локальный экстремум и найдём
частные производные
и
Составим и решим систему уравнений:
–решение
системы уравнений.
Найдём
частные производные второго порядка:
и составим дискриминант
.
Следовательно, в точке
экстремума нет.
На
границе области
функция примет следующий вид
,
при этом
.
Исследуем функцию на экстремум. Найдём
производную
откуда точка
и значение функции в ней
.
На
границе области
функция примет следующий вид
,
при этом
.
Исследуем функцию на экстремум. Найдём
производную
откуда точка
и значение функции в ней
.
На
границе области
функция примет следующий вид
,
при этом
.
Исследуем функцию на экстремум. Найдём
производную
откуда точка
и значения функции в ней
.
На
границе области
функция примет следующий вид
,
при этом
Исследуем функцию на экстремум. Найдём
производную
откуда точка
и значение функции в ней
.
Будем
иметь
в точке
и
в точке
.