дз3
.docx
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (Национальный Исследовательский Университет)» (КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана) |
ФАКУЛЬТЕТ |
М-КФ «Машиностроительный» |
КАФЕДРА |
М10-КФ «Высшая математика» |
ДОМАШНЯЯ РАБОТА №2
"Дифуравнения высшего порядка"
Вариант 21
ДИСЦИПЛИНА: |
"Интегралы и дифференциальные уравнения" |
|
|
|
Выполнил: студент гр. РПД.Б.-21 |
_______________(Прудников А. Ф.) Подпись Ф.И.О.
|
Проверил: |
_______________(Беляев В. А. ) Подпись Ф.И.О.
|
Дата сдачи (защиты): |
|
|
Результаты сдачи (защиты):
-Балльная оценка
-Оценка |
|
|
|
|
Калуга, 2020 г.
Задача №1
Определите тип дифуравнения и найдите его общее решение.
Решение: Сначала определим тип дифуравнения. Данное уравнение является дифуравнением допускающим понижения порядка. Воспользуемся следующими формулами и .
Подставим данные в первую функцию:
;
Подведем под дифференциал и подставим в уравнение :
;
Теперь воспользуемся второй формулой:
;
Рассмотрим . В знаменателе выразим полный квадрат:
Подведем под дифференциал и подставим в уравнение:
Таким образом мы получаем следующее уравнение:
.
Задача №2
Определите тип дифуравнения и найдите его общее решение.
Решение: Сначала определим тип дифуравнения. Данное уравнение является дифуравнением второго порядка не содержащие в явном виде х. Поэтому понижение степени достигается следующим методом
Подставляя в начальное уравнение получим:
Преобразуем уравнение:
Проинтегрируем полученное уравнение:
Правая часть этого выражения – табличная, её результат . Рассмотрим левую часть . Подведем под дифференциал , подставим в выражение и найдём первообразную:
Получим выражение:
Пропотенцируем и преобразуем его:
Отсюда:
Преобразуем уравнение и проинтегрируем его:
Правая часть выражения является табличной и её интеграл равен Рассмотрим левую часть выражения . Подставим под знак дифференциала и получим Подставим в интеграл и найдём его:
Таким образом ответ будет выглядеть следующим образом:
Задача №3
Определите тип дифуравнения и найдите его общее решение.
Решение: Сначала определим тип дифуравнения. Данное уравнение является линейным неоднородным дифуравнением с постоянным коэффициентом и его общее решение может быть записано в виде , где – общее решение данного данного уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения , - частное решение данного неоднородного уравнения.
Сначала найдём . Для этого составим характеристическое уравнение и найдём корни этого уравнения.
Преобразуем полученное общее решение с помощью следующих двух формул: и :
;
Частное решение будем находить методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных), т.е.
Для нахождения и составим систему:
Сокращая на , получим:
Полученную систему решим методом Крамера
Таким образом частное решение имеет вид
Общее решение примет вид
Задача №4
Определите тип дифуравнения и найдите его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение: Сначала определим тип дифуравнения. Данное уравнение является линейным неоднородным дифуравнением второго порядка. Решение общего вида будет записываться в виде где – общее решение соответствующего однородного уравнения , а - частное решение.
Составим характеристическое уравнение:
.
Отсюда .
Таким образом, общее решение, учитывая формулы и .
Рассмотрим правую часть начального уравнения . Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и составим систему уравнений:
Выражения для подставляем в данное уравнение:
В полученном тождестве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
Таким образом .
Учитывая начальные условия
Учитывая начальные условия, .
Ответ: .