- •Лекция №4. Случайные погрешности. Обработка результатов многократных измерений
- •Основные понятия, используемые при анализе случайных погрешностей
- •Законы распределения случайных величин
- •Трапецеидальные распределения
- •Двухмодальные распределения
- •Распределения Стьюдента
- •Нормальное распределение
- •Доверительная вероятность попадания случайной величины в интервал [a; b]
- •Функция Лапласа
- •Практическое применение связи между доверительной вероятностью и функциями Стьюдента и Лапласа
- •Пример
- •Обработка многократных измерений
- •Обработка многократных измерений
- •Обработка многократных измерений
- •Обработка многократных измерений
- •Лекция №5.
- •Виды измерений
- •Виды измерений
- •3. Совместные измерения одновременные измерения значений нескольких неодноименных величин для определения
- •4. Совокупные измерения одновременные измерения нескольких значений одноименных величин, при которых искомое значение
- •Обработка результатов косвенных измерений
- •СКО аргументов определяются выражением:
- •6. Если функциональная зависимость F нелинейна, то ее раскладывают в ряд Тейлора:
- •Методы измерения
- •Нулевой метод
- •Виды средств измерений
- •1. Меры
- •3. Измерительные
- •5. Техническая система и устройство с измерительными функциями
- •Характеристики средств измерений
- •Номинальное (нормирующее) значение
- •Чувствительность средств измерений
- •Вариация показаний
- •Аддитивная
- •Лекция №7. Обеспечение единства измерений
- •Единство измерений (ЕИ) – состояние измерений, характеризующееся тем, что их результаты выражаются в
- •Целями настоящего Федерального закона являются:
- •Сферы государственного регулирования обеспечения ЕИ
- •8)Осуществление деятельности в области обороны и безопасности государства.
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Ответственность за нарушение метрологических правил и норм
- •Ответственность за нарушение метрологических правил и норм
- •Формы государственного регулирования в области обеспечения единства измерений
- •Эталон единицы величины (measurement standard, etalon) - средство измерительной техники, предназначенное для воспроизведения,
- •Государственная поверочная схема
- •Виды эталонов
- •Виды эталонов
- •Виды эталонов
- •Поверка и калибровка средств измерений
- •Методы поверки
- •Виды поверок
- •Основные методы выбора оптимальной продолжительности МПИ
- •Структура управления деятельностью по обеспечению единства измерений
- •Основные государственные научно-метрологические центры
- •Международное сотрудничество в области метрологии
Лекция №4. Случайные погрешности. Обработка результатов многократных измерений
1
Основные понятия, используемые при анализе случайных погрешностей
Математическое ожидание
n
M(x) x1p1 x2p2 ... xnpn xipi
|
n |
i 1 |
|
|
|
M(x) x |
xi |
|
i 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
Дисперсия |
СКО |
|||
|
n |
|
n |
|
|
(xi x)2 |
x D(x) |
(xi x)2 |
|
D(x) |
i 1 |
i 1 |
||
n 1 |
||||
n 1 |
||||
|
|
2
Законы распределения случайных величин
Виды законов распределения
трапецеидальные |
|
семейство распределения |
|
Стьюдента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экспоненциальные |
уплощеные |
|
|
|
|
|
|
|
|
двухмодальные
3
Трапецеидальные распределения
p(x)
p(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
0 |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Равномерное |
p(x) |
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2(x |
x1) |
|
Треугольное |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x1 |
x |
x2 |
x |
Трапецеидальное
x x1 x2
2
4
Двухмодальные распределения
p(x)
p(x)
0 x1 |
|
|
x2 |
x |
x1 |
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
1 |
||||||||
Двухмодальное |
|
Арксинусоидальное |
p(x) |
|
|||||
|
|
A2 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Распределения Стьюдента
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
p(x) |
|
Г ( |
2) |
|
1 |
x2 |
2 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г (n |
1) |
|
n 1 |
|
||||||
|
(n 1) |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Г - Гамма-функция от аргумента числа измерений |
|||
Г (n) (n 1)! |
Г (1) 1; |
Г ( |
1) |
|
|
|
2 |
p(x)
0 |
x |
x |
6
Нормальное распределение |
||||||
|
p(x) |
1 |
|
|
(x x)2 |
|
|
2 |
exp |
2 |
|
||
|
x |
|
|
2 x |
|
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 0,95 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
x 0.95 |
|
x |
|
|
x 0.95 |
|
|
|
|
|
7
Доверительная вероятность попадания случайной величины в интервал [a; b]
b |
b |
|
1 |
|
|
(x x)2 |
|
Р(a x b) p(x)dx |
|
||||||
|
exp |
|
2 |
dx |
|||
a |
a |
x |
2 |
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
(x x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
exp |
|
2 |
dx |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
||||||||
|
2 a |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Сделаем подстановку |
|
||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
a x |
|
|
b x |
|
|
|
t x 2 |
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Тогда
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Р(a x b) |
|
e t2 x |
2dt |
e t2 dt 1 |
Ф( ) Ф( ) |
|||
x |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
8
Функция Лапласа
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
0,5t2 |
||||
Ф(t) |
|
|
exp |
dt |
||
|
0 |
|
|
|
|
9
Практическое применение связи между доверительной вероятностью и функциями Стьюдента и Лапласа
Если число измерений больше или равно 20
Pд = |
1 |
|
|
1 - |
|
|
2 + |
|
|
|
Ф |
c |
+ Ф |
c |
|
||||
|
2 |
|
|
σср |
|
|
σср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если число измерений меньше 20
|
1 c |
Pд Fn |
|
|
ср |
|
|
|
2 c |
|
Fn |
|
|
|
ср |
|
|
-1
СКО среднего арифметического
n |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
||||
ср ( Xi X ) |
|
|
||||
|
n |
|||||
i 1 |
n(n 1) |
|
|
10