методичка_линейка _2_
.pdfв) элементы второй строки умножить на (-2/3) и прибавить к третьей; г) элементы третьей строки умножить на (-3/2) и прибавить ко второй;
д) другой ответ
9.Для решения системы уравнений, содержащих 4 неизвестных целесообразно применять Варианты ответов:
а) метод Гаусса б) метод Крамера
в) метод обратной матрицы г) метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы д) другой ответ.
10.Метод обратной матрицы невозможно использовать, если: Варианты ответов:
а) применим метод Крамера, б) определитель матрицы равен нулю,
в) определитель матрицы не равен нулю, г) применим метод Гаусса, д) другой ответ.
Тематика рефератов
1.Использование систем линейных уравнений в математическом моделировании.
2.Исследование методов решения систем линейных уравнений.
3.Вклад Габриэля Крамера в изучение систем линейных уравнений.
40
ТЕМА 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
3.1. Основные понятия
Комплексным числомz называется упорядоченная пара чисел (а,b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение, умножение, деление, возведение в степень, результаты которых также являются комплексными числами.
Алгебраической формой комплексного числа z называется
выражение z = a + ib , где aи b |
– действительные числа, i – |
|||
мнимая единица, которая определяется соотношением: |
|
|||
i 2 = −1; |
i = |
|
|
|
−1. |
(3.1) |
|||
|
|
|
|
При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz).
Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.
Числа z = a +ib и z = a − ib называются комплексно –
сопряженными.
Два комплексных числа z1 = a1 +ib1 и z2 = a2 +ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
a1 =a2 ; b1 =b2 ;
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
a =b =0.
Комплексное число представляется точкой на плоскости (комплексной плоскости z), координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
41
у
b |
A(a, b) |
r
ϕ
0a x
Рис. 3.1. Графическое представление комплексных чисел
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на оси ОY – чисто мнимые - b.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма числа. |
|
|
||
Из |
геометрических |
соображений |
видно, |
что |
a = r cos ϕ; |
b = r sin ϕ. Тогда |
комплексное |
число |
можно |
представить в виде: |
|
|
|
z = a + ib = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) |
(3.2) |
|
Такая форма записи называется тригонометрической
формой записи комплексного числа.
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона ϕ -аргументом комплексного числа.
r = |
|
z |
|
; |
ϕ = Arg z . |
(3.3) |
|
|
Из геометрических соображений видно:
|
|
|
|
= |
|
; ϕ = Arg z = arctg |
b |
|
r = |
|
a + ib |
|
a 2 + b 2 |
; |
|||
|
|
|||||||
|
|
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
z = z ; Arg z = −Arg z.
(3.5)
3.2. Действия с комплексными числами
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
42
1)Сложение и вычитание.
z = z1 ± z2 = (a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2 )
(3.6)
z= (a1 ± a2 )2 + (b1 ± b2 )2
2)Умножение.
z = z z |
2 |
= (a + ib )(a |
2 |
+ ib ) = a a |
2 |
+ ia b + ib a |
2 |
+ i 2b b |
|||||
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
||||
z = z1 z2 |
= (a1 a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + b1 a2 ) |
|
|
|
|
(3.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В тригонометрической форме:
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , z2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ).
z = z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 ))
(3.8)
Вслучае комплексно – сопряженных чисел:
zz= (a + ib)(a − ib) = a 2 + b 2 = z 2 = z 2 .
3)Деление.
z = |
|
z1 |
= |
a1 + ib1 |
= x + iy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
+ ib2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = |
|
|
(a1 + ib1 )(a2 |
− ib2 ) |
= |
(a1a |
2 + b1b2 ) + i(a2b1 − a1b2 ) |
|
||||||||||||||||
|
(a |
2 |
+ ib |
2 |
)(a |
2 |
|
− ib |
) |
|
|
a 2 |
+ b 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
z = |
a1a2 + b1b2 |
+ i |
a2b1 − a1b2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
+ b22 |
|
|
|
|
a22 |
+ b22 |
|
|
(3.9) |
||||
В тригонометрической форме: |
|
|
||||||||||||||||||||||
z = |
z1 |
= |
r1 |
|
|
(cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 )) |
||||||||||||||||||
|
r2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|||||
|
|
|
4)Возведение в степень. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Из операции умножения комплексных чисел следует, что |
|||||||||||||||||||||
z 2 |
= zz = r |
2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) |
(3.11) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
В общем случае получим: |
|
|
|||||||||||||||||||
z n |
= r n (cos nϕ + i sin nϕ) , |
|
|
|
|
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
5)Извлечение корня из комплексного числа.
43
n |
z |
= n |
r(cosϕ+i sin ϕ) |
= ρ(cosψ +i sin ψ) |
(3.12) |
|
|
|
|
|
|
Возводя в степень, получим: |
|
ρn (cos nψ + i sin nψ) = r(cosϕ+ i sin ϕ)
Отсюда: ρ = n |
r |
; |
nψ = ϕ + 2πk; |
k Z. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2πk |
|
ϕ + 2πk |
|
|
n |
z = n r(cos ϕ + i sin ϕ) = |
n |
|
+ i sin |
|
||||||||||
|
|
r cos |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
(3.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
3.3. Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим показательную функцию z = x + iy. Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
w = ex+iy = e x (cos y + i sin y)
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) ez1 +z2 = ez1 ez2 ; |
|
|||
|
|
z1 |
|
|
2) |
e z1 −z2 = |
e |
; |
|
z2 |
|
|||
|
|
e |
|
|
3) |
(e z )m = emz ; |
(3.14) |
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
eiy = cos y +i sin y |
(3.15) |
|
Для комплексно – сопряженного числа получаем: |
|
|||||
e−iy = cos y − i sin y |
(3.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Из этих двух уравнений получаем: |
|
|||||
|
|
|
eiy + e−iy |
|
||
cos y = |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiy − e−iy |
|
|
|
|
sin y = |
|
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
2i |
|
||
|
|
|
(3.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) и воспользоваться формулой Эйлера, получим
|
|
|
|
|
|
z = reiϕ |
(3.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное равенство и есть показательная форма |
|||||
комплексного числа. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
1. Найти сумму комплексных чисел z1 = 3 – i и |
z2 = – 4 + 2i . |
||||
z1 + z2 = ( 2 + (–1)×i) + (–4 + 3i) |
= |
( 3 + (–4)) + ((–1) + 2 )i = 2 - 2i. |
|||||
|
|
2. |
Найти |
произведение |
комплексных чисел |
z1 =1 – 3i и |
|
z2 = –2 |
+ 3i. |
|
|
|
|
||
z × z |
2 |
= ( 1 – 3i) |
× (–2 + 3i) |
= 1 ×(–2) + 1 ×3i + ( - 2) ×(-3i) + (-3i) ×3i = |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
= 7 + 9i
(2 −i)
3. Найти частное (3 − 4i)
Для нахождения частного данных комплексных чисел умножим и разделим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю, то есть на (3 + 4i):
(2 - i) |
= |
(2 - i)(3 - 4i) |
= |
2 -11i |
= |
2 |
- |
11 |
i . |
(3 - 4i) |
|
|
|
|
|||||
32 + 42 |
25 |
25 25 |
|
4.Решить уравнение: x −(2 −i)(x −yi) =1+3i , x и y R. x −((2x −y) +(−x −2y)i) =1+3i
(−x + y) + (x + y)i =1 + 3i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
−x + y =1,
x + y =3,
откудаx = 1 , y= 2.
5. Вычислить: i2 ,i3 ,i4 ,i5 ,i6 ,i−1, i−2.
45
i 2 |
= i ×i = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i3 |
= i 2 ×i = -i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i 4 = i3 ×i = -i ×i = -(-1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i5 |
= i 4 ×i = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i 6 = i5 ×i = i ×i = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
i −1 |
|
= |
|
1 |
= |
|
|
|
i |
|
|
= -i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i ×i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i −2 |
|
|
= |
1 |
|
= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6. Вычислить z−3 , если z =1 +2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−11+2i |
|
|||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
=(1+2i) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+2i)3 |
1+6i +12i2 +8i3 |
−11−2i |
(−11)2 +(−2)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
−11+2i |
=− |
11 |
+ |
2 |
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7. Вычислить число z−1 |
обратное числу z = 2 −i . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z−1 = |
1 |
= |
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
2 +i |
|
|
|
= |
|
|
2 +i |
= |
2 +i |
= |
2 |
+ |
1 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 −i |
|
|
|
|
(2 −i)(2 +i) |
2 |
|
+1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1. Найти модуль комплексных чисел z1 = 6 – 8i и z2 = 2 + 2i . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 +(−8)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r = |
z |
= |
|
|
|
|
= 100 =10 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 = |
z2 |
= 22 +22 = 8 = 2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) z1 = 1 + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
Найти модуль |
и аргумент чисел: |
|
; |
2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 = 2 +2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1) z1 =1 + |
|
; a = 1 , b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
r1 = 12 + ( |
|
)3 = |
|
= 2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ1 |
= |
|
a |
|
|
|
|
|
|
cos ϕ1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + 2πκ, κ Ζ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ1 |
= |
b |
|
|
|
|
|
sin ϕ1 |
= |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) z2 = 2 + 2i; a = 2,b = 2 r2 =22 +22 =22 ,
46
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cosφ = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2 = |
+2πκ, κ Ζ. (3.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin φ2 |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулы |
|
a = r cosϕ, |
b = r sin ϕ можно перейти от |
алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):
z = a + bi = r cos ϕ+i sin ϕ = r(cos ϕ +i sin ϕ) . (3.20)
Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2π.
Пример. Записать числа в тригонометрической форме.
1) |
z1 = |
1 |
+ |
3 |
|
|
i , 2) |
z2 = − |
1 |
+ |
3 |
i , 3) |
z3 |
= − |
1 |
− |
3 |
i , 4) |
z4 |
= |
1 |
− |
3 |
i . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z = |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
r = |
z |
= |
|
+ |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos ϕ1 |
= |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin ϕ = |
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)
|
|
|
Таким образом: |
|
z1 = cos π +i sin π . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
|||||||||
2) |
z2 |
=− |
1 |
|
+i |
|
|
|
3 |
, r2 =1 |
, |
φ2 |
|
, |
z2 |
= cos |
+i sin |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ3 = |
4π |
|
|
|
|
|
4π |
|
|
4π |
|
|
|||||||||||||||
3) |
z3 |
=− |
1 |
|
− |
|
|
|
3 |
i, r3 = 1 |
, |
, |
z3 |
|
= cos |
+i sin |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5π |
|
z4 = cos |
5π |
+i sin |
5π |
. |
|||||||||||||||||||||||
4) |
z |
|
= |
1 |
− |
|
|
3 |
i, r = 1 , ϕ = φ |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
4 |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
1) Выполнить умножение
z = 2(cos π |
+i sin π ), |
z |
2 |
= 3(cos π |
+i sin π ) |
|
1 |
4 |
4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
z × z |
|
= 6(cos(π |
+ π ) + i sin(π + π )) = 6(cos |
7π |
|
+ i sin |
7π |
) . |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
4 |
3 |
|
12 |
|
12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) Вычислить: (1+i)20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
20 |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
20 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+i = 2(cos |
|
|
+i sin |
|
), |
(1+i) |
|
= |
2(cos |
|
|
+i sin |
|
) |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=( |
|
|
|
)20 |
(cos |
30π |
+i sin |
30π |
) =210 (cos |
3π |
+i sin |
3π |
). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z1 = |
|
|
3(cos π + i sin π ), |
z2 = 4(cos |
7π |
|
+i sin |
7π |
) . Найти частное. Решение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z = |
z1 |
|
= |
|
3 |
(cos( |
π |
− |
7π |
) +i sin( |
π |
− |
7π |
)) = |
|
|
3 |
(cos |
6π |
−i sin |
6π |
) = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 (cos 2π−i sin 2π) 4
Пример.
Найти: 1) 4 1 , 2) 3 i , 3) 3 1 .
Решение.
|
uk = 4 |
|
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
1(cos |
0 + 2πk |
+ i sin |
0 + 2πk |
), |
k {0, 1, 2, 3}, |
|||||||||||||
1) |
1 |
1(cos0 + i sin 0) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
u0 = cos0 +isin0 = 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u1 |
= cos p + i sin |
p |
= i |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u2 |
= cos p + i sin p = -1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u3 |
= cos |
3π |
+ i sin |
3π |
= −i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + 2πk |
|
|
π + 2πk |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 3 1× (cos π + i sin π ) = 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) |
uk = 3 |
|
|
1(cos |
2 |
+ i sin |
2 |
|
) = |
|||||||||||||||||||||||
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
= cos |
π + 4πk |
+ i sin π + 4πk , k = 0, 1, |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cosπ +i sin π = |
1 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
+i) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= cos |
|
5π |
|
+i sin |
5π |
= |
|
1 |
|
(− |
|
|
|
|
|
|
|
+i), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u |
|
= cos |
|
9π |
+i sin |
9π |
= cos |
3π |
|
|
+i sin |
3π |
= −i. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
uk = 3 |
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
2πk |
+ i sin |
|
2πk |
, k = 0, 1, 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
1 |
1× (cos 0 + i sin 0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π × 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π × 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u0 |
= cos |
|
|
+ i sin |
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2π ×1 |
|
|
|
2π ×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u1 |
= cos |
+ i sin |
= - |
1 |
+ i |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2π × 2 |
|
|
2π × 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 |
= cos |
+ i sin |
= - |
|
1 |
- i |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1. Найти показательную форму чисел: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) z1 = 1 +i ; б) z2 = − |
|
−i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = arg z1 = π , |
|
z1 =1 +i = |
|
|
|
i π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
r = |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
|
|
2e 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7πi |
|||||||||
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2, |
|
|
|
|
|
|
ϕ = arg z2 |
= |
7π |
|
|
|
|
|
z2 = − |
|
|
−i = 2e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
z2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
3 |
6 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2. Найти алгебраическую форму чисел: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) z1 = 2e 3 , б) z2 = 3e− 6 , в) z3 = e−3+4i . |
|
|
|
|
|
|
Решение.
|
πi |
а) |
z1 = 2e 3 |
|
−πi |
б) |
z2 = 3e 6 |
в) z3 = e−3+4i
= 2(cos p + i sin p) = 2( |
1 |
|
+ |
|
3 |
i) = 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3i , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
i |
|
3 3 |
|
3i |
|
|||||||||||||
= 3(cos - |
|
|
+ i sin |
- |
|
) = 3( |
|
|
|
|
- |
|
) = |
|
|
|
|
|
- |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||
= e−3 ×e4i |
= e−3 (cos4 + i sin 4) » 0.05(-0.65 - 0.76i) » -0.03 - 0.038i . |
3. Найти |
z1z2 и |
z1 |
, результат записать в тригонометрической |
|||||
z2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
форме: |
|
|
|
|
|
|||
|
2i |
|
i |
|
z1 = e3−7i , z2 = e−4+5i . |
|||
а) z1 =3e |
5 |
, z2 =5e |
6 |
; б) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
49 |